負數為什么要用補碼來表示？

今天，發生一件非常有趣的事情。

公司同事問了我一個問題：為什么 2.0 - 1.1 = 0.89999999 呢？不應該是 0.9嗎？

原來是，他問了周圍一圈的同事，都給他的是同一個回答，說這是精度問題。他百思不得其解，怎么就會產生精度問題呢。再問，就沒人知道原因了。

然后，我就看到了他抱着一本厚厚的書在看。拿過來一看，是一本Java書，厚厚的六百多頁，這還僅是第一卷。喲呵，這是准備大干一場啊。

看在他這么努力學習的份上，還有他那對知識極度渴望的眼神。我決定，把我畢生所學傳授與他。

於是，就給他詳細講解了，計算機中是怎么存儲一個數的，十進制是怎么在轉二進制的過程中丟失精度的，以及浮點數是怎么遵循IEEE 754 規范的，在浮點數進行加減運算的過程中會經歷對階、移位運算等過程，以及在此過程中是怎么丟失精度的。（這些問題在之前的文章中都有解答，參看“為什么0.1+0.2=0.30000000000000004”）

然后，成功的把他徹底搞懵逼了。怎么這么難啊。

原來，他的計算機基礎比我還匱乏，不知道什么是位運算，不知道什么是原碼、反碼和補碼。

本着我的熱心腸，我就給他普及了一下這些知識 ---- 負數的補碼形式和位移運算。

我們知道，一個數分為有符號和無符號。對於，有符號的數來說，最高位代表符號位，即最高位1代表負數，0代表正數。

在計算機中，存儲一個數的時候，都是以補碼的形式存儲的。而正數和負數的補碼表示方式是不一樣的。正數的補碼就等於它的原碼，而負數的補碼是原碼除符號位以外都取反，然后 + 1 得來的。以一個int類型為例（4個字節即32位）

14的原碼為：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110

它的反碼、補碼和原碼都是一樣的。

-14的原碼為:

//最高位1為符號位，代表此數為負數 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110

反碼為原碼除了符號位以外的其他位都取反（即0變為1，1變為0），

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0001

補碼為反碼 + 1 ，注意二進制中是滿二進一。

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010

位的左移，右移運算就是分別向左和向右移動N位。移位的規則是：

1. 不管有沒有符號位，左移都是在低位補0
2. 帶符號右移，是在高位補符號位，即正數補0，負數補1
3. 無符號右移，無論該數是正數還是負數都在高位補0

因左移就在右邊低位補0就可以了，比較簡單，我就以負數的右移來舉例，是怎么計算無符號右移和帶符號右移的。還是以 -14 為例。

// -14的補碼 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 // 帶符號右移用 >> 表示，即右移一位 -14>>1，高位補符號位1，低位舍去 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001 // 無符號右移用 >>> 表示，即右移一位 -14>>>1，最高位補0 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001

我們可以通過程序來驗證一下 -14>>1和 -14>>>1的結果是否正確。

1. -14>>1 = -7

//我們算出來 -14>>1的補碼為： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001 //那它具體代表的數值是多少呢？ //首先，補碼 -1 得到反碼 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 //然后，反碼取反得到原碼，最高位符號位不變 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

這結果不就是 -7 嗎，然后通過程序計算一下結果：

public class TestMove { public static void main(String[] args) { System.out.println( -14>>1); } }

結果同樣也是-7 。說明了我們位移操作沒問題。

2. -14>>>1=2147483641

我們通過一段程序去驗證：

package com.test.binary;
​
/** * @Author zwb * @DATE 2019/12/3 15:49 */ public class TestBinary { public static void main(String[] args) { //我們自己計算出來的 -14>>>1 結果 String bin = "01111111111111111111111111111001"; double res = binToDec(bin); System.out.println(res); //通過計算機計算的結果 System.out.println(-14>>>1); } ​ //二進制轉為十進制 public static double binToDec(String bin){ int index = bin.indexOf("."); int len = bin.length(); double res = 0; //index為-1說明沒有小數 if(index == -1){ for(int i = 0; i< len; i++){ res += Math.pow(2,i) * Integer.parseInt(String.valueOf(bin.charAt(len-1-i))); } }else{ //整數部分 int partA = 0; for(int i = 0; i< index; i++){ partA += Math.pow(2,i) * Integer.parseInt(String.valueOf(bin.charAt(index-1-i))); } //小數部分 double partB = 0; for(int j = index + 1; j < len; j++){ partB += Math.pow(2,index - j) * Integer.parseInt(String.valueOf(bin.charAt(j))); } res = partA + partB; } return res; } }

運行之后的結果，可以在控制台打印看到：

上邊第一個是我們自己通過推算它的補碼，然后通過二進制轉十進制的一個算法算出來的最終結果，第二個就是直接通過位運算算出來的結果。可以看到結果是一模一樣的。

至此，是不是對原碼，反碼，補碼以及位運算左移右移，有了比較清晰的認識了呢？

今天，我們深入探討一下，為什么計算機中要用補碼來表示負數？

首先，我們應該清楚，原碼是方便給人看的。看到一個數的原碼，我們就能根據符號位和后邊的二進制位，計算出這個數的實際值。為了簡單起見，我以一個字節8位來舉例，如

// 1 的原碼 ，最高位0代表正數 0000 0001 // -1 的原碼， 最高位1代表負數 1000 0001

可以看到，1和 -1 的原碼只有符號位不同。然后，思考一個問題，1 - 1 = ？

是的，我們可以直接通過減法去計算，得出1-1=0 。但是，做減法運算時，可能會遇到不夠減而需要借位的情況，這顯然是比較麻煩的。我們換一種思路。 1-1 在數學中等同於 1+(-1)。這樣，把減法轉換為加法就簡單的多了，只需要考慮進位就可以了。（其實，計算機中只有加法器，沒有減法器，因此減法是通過加法器來計算的。）

於是，我們看下，把1和-1的原碼相加等於多少（需要讓符號位也參與運算）

  0000 0001
+ 1000 0001 1000 0010

結果是 -2 ，這顯然不符合我們的預期。

為了解決原碼減法的問題，於是，出現了反碼。使用反碼，再來計算一下。

// 1的反碼，同原碼 0000 0001 // -1的反碼，符號位不變，其他取反 1111 1110

相加之后，得 1111 1111 ，這是反碼，轉為原碼為 1000 0000 ，即為 -0 。

但是，這又有問題了，在數學中0就是0，怎么到這還有 -0，+0之分。按照原碼的概念來算，+0的原碼為0000 0000 ， -0 的原碼為 1000 0000 。問題就出在這了，如果遇到0的計算，是應該用 +0 還是用 -0 計算呢，這就會產生分歧。於是，補碼出現了，解決了0的符號問題 。

// 1的補碼，同原碼 0000 0001 // -1的補碼，反碼 +1 1111 1111

相加得 1 0000 0000 ，最高位進位之后，超過了8位，於是舍去，即為0000 0000。此為補碼，轉為原碼也是0000 0000 ，這不就是0 嗎。

這樣一來，用補碼0000 0000來表示0，就解決了+0和-0在原碼上的分歧，統一了0的二進制表示方法。

那，又有疑問了，-0跑哪去了呢？ 其實，-0即1000 0000在這用來表示 -128。但是，注意表示的是 -128的補碼，因此 -128沒有原碼和反碼。

那為什么用 1000 0000表示 -128呢 ？

先看下 -127 的原碼、反碼和補碼：
原碼: 1111 1111
反碼: 1000 0000
補碼: 1000 0001

我們知道數學中 -127 -1 = -128 ，所以 -127的補碼 -1 也應該等於 -128的補碼，即
1000 0001 -1 = 1000 0000。因此1000 0000就是 -128的補碼。

在一個字節8位中，如果用原碼來表示值的大小范圍，只能是 1111 1111 ~ 0111 1111，即-127~127 。但是，如果用補碼就可以表示 -128~127，正好是2^8，256個數。

因此，-0可以表示一個最低數。在8位二進制中它是1000 0000 ，在32位中，它就是 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ，int的最小值。（32位數值大小范圍為 -2^31 ~ 2^31 -1）

總結：補碼的存在解決了0的符號問題，同時統一了計算機的加減法運算。