固體物理補充1：晶體狀態方程中配分函數的推導

1. 還是采取簡諧近似得到簡正坐標的觀點來求配分函數。在三維的每個原胞只有一個原子的體系中有3N個簡正坐標（這個體系中只有三支聲學支，原因見固體物理筆記本三維晶格振動結論），這3N個簡正坐標相當於3N個獨立的諧振子，

固體系統看成是3N個獨立的簡諧振子組成的系統(因為哈密頓量中不含交叉項，所以是獨立的）。每個諧振子（即簡正模）看成是一個粒子，共3N個粒子。由於每個諧振子有它的頻率\(\omega_{i}\)（即\(\omega_{q}\)），每個諧振子（即簡正模）對應一個（q，w），故由此區別了每個諧振子，所以此系統看成是定域系統（因為可分辨。也即玻爾茲曼系統）。

2. （1）一個諧振子的能量（也即一個簡正模的能量）為：

i：粒子序號
\(n_{i}\)：i粒子的量子數，也即代表i粒子量子態
（2）根據課件中“晶格振動的量子化”一節，系統能量（即系統能級，也即系統本征能量）為：

\[E_{s}=\sum_{i=1}^{3N}\varepsilon _{i}=\sum_{i=1}^{3N} ( n_{i} +\frac{1}{2})ħ\omega _{i} \]

{\(n_{i}\)}：各個粒子的量子態的分布的總的情況
s:系統量子態序號，一個{\(n_{i}\)}對應一個s
（3）再加上平衡勢能\(U_{l}\)（即各個原子處於平衡位置時的勢能，是一個常數，見“第22章翻譯”）才是系統總能量：$$U_{l}+E_{s}$$
（加上平衡勢能的原因是在課件中“晶格振動的量子化”中“三維體系”中的勢能展開中而忽略了平衡勢能（由於平衡勢能是常數），哈密頓量只包含了動能和簡諧勢能，但是平衡勢能不能總是被忽略，正如我們已經在《solid state》第20章中知道的，它在決定晶體的絕對能量，平衡尺寸，平衡壓縮性質時是至關重要的，所以現在加上平衡勢能。）
3. 類似熱力學統計物理筆記本中”經典理想氣體“一節中定域系統的Z的推導，在理解筆記本中左頁的求和號化為連乘號求和號的證明之后，可以推導：

\[\begin{align} Z&=\sum_{\left \{ n_{i} \right \}}e^{-\beta \left ( U_{l}+E_{s} \right )}\notag \\ &=e^{-\beta U_{l}}\sum_{\left \{ n_{i} \right \}}e^{-\beta\sum_{i}\varepsilon _{i}}\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}\sum_{n_{i}}e^{-\beta \varepsilon _{i}}\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}\sum_{n_{i}=0}^{\infty }e^{-\beta \left ( n_{i} +\frac{1}{2}\right)ħ\omega _{i} } \notag \\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}e^{-\frac{1}{2}\beta ħ\omega _{i} }\left [ \sum_{n_{i}=0}^{\infty}e^{-\beta n_{i}ħ\omega _{i}} \right ]\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}e^{-\frac{1}{2} \beta ħ\omega _{i} }\left [ \frac{1}{1-e^{-\beta ħ\omega _{i}}} \right ]\\ &=e^{-\frac{U_{l}}{k_{B}T} }\prod_{i=1}^{3N}\frac{e^{-\frac{1}{2}ħ\omega _{i}/k_{B}T} }{1-e^{- ħ\omega _{i}/k_{B}T}} \\ \end{align}\]

（1）到（2）的推導是根據熱力學統計物理筆記本中左頁的求和號化為連乘號求和號的證明（即使有兩個量\(n_{i}\)和\(\omega_{i}\)，也能根據筆記本中的證明過程而類似證明（1）到（2）的推導也成立）。
（3）到（4）的推導是根據等比數列求和（或等比級數）或

（5）即為配分函數表達式。
（內容為量子凝聚態原創，轉載需注明來源。灰色的是截取的圖片，這些圖片來自中科大趙瑾老師的固體物理課件，但趙瑾老師課件中的配分函數的推導是錯誤的。參考文獻：黃昆《固體物理學》、中科大趙瑾老師的固體物理課件。）
                                                                                                       ---由量子凝聚態編輯