https://blog.csdn.net/joob000/article/details/81295144
理論推導
機器學習所針對的問題有兩種：一種是回歸，一種是分類。回歸是解決連續數據的預測問題，而分類是解決離散數據的預測問題。線性回歸是一個典型的回歸問題。其實我們在中學時期就接觸過，叫最小二乘法。
線性回歸試圖學得一個線性模型以盡可能准確地預測輸出結果。
先從簡單的模型看起：
首先，我們只考慮單組變量的情況，有： 
使得 
假設有m個數據，我們希望通過x預測的結果f(x)來估計y。其中w和b都是線性回歸模型的參數。
為了能更好地預測出結果，我們希望自己預測的結果f(x)與y的差值盡可能地小，所以我們可以寫出代價函數（cost function）如下： 
接着代入f(x)的公式可以得到： 
不難看出，這里的代價函數表示的是預測值f(x)與實際值y之間的誤差的平方。它對應了常用的歐幾里得距離簡稱“歐氏距離”。基於均方誤差最小化來求解模型的方法我們叫做“最小二乘法”。在線性回歸中，最小二乘法實質上就是找到一條直線，使所有樣本數據到該直線的歐式距離之和最小，即誤差最小。
我們希望這個代價函數能有最小值，那么就分別對其求w和b的偏導，使其等於0，求解方程。
先求偏導，得到下面兩個式子： 
很明顯，公式中的參數m，b，w都與i無關，簡化時可以直接提出來。
另這兩個偏導等於0：
求解方程組，解得： 
這樣根據數據集中給出的x和y，我們可以求出w和b來構建簡單的線性模型來預測結果。
接下來，推廣到更一般的情況：
我們假設數據集中共有m個樣本，每個樣本有n個特征，用X矩陣表示樣本和特征，是一個m×n的矩陣： 
用Y矩陣表示標簽，是一個m×1的矩陣： 
為了構建線性模型，我們還需要假設一些參數： 
（有時還要加一個偏差（bias）也就是
， 為了推導方便沒加，實際上結果是一樣的）
好了，我們可以表示出線性模型了： 
h(x)表示假設，即hypothesis。通過矩陣乘法，我們知道結果是一個n×1的矩陣。
跟前面推導單變量的線性回歸模型時一樣，列出代價函數： 
這里的1/2並無太大意義，只是為了求導時能將參數正好消掉而加上。
代價函數代表了誤差，我們希望它盡可能地小，所以要對它求偏導並令偏導數為0，求解方程。
在求偏導之前先展開一下： 
接下來對
求導，先給出幾個矩陣求導的公式： 
對代價函數
求關於
的偏導，並令其等於0。
求偏導。 
套用前面給出的矩陣求導公式。 
最后化簡得到： 
好了，另這個偏導數等於0： 
解得： 
這是在
可逆的前提下得到的，事實上存在不可逆的情況，我們在之后的ridge和lasso回歸會針對這樣的情況進行討論，在此我們默認其是可逆的。
可以根據公式直接求得
的值，但是當X維度很高時矩陣求逆計算量非常大，所以我們在實際應用中往往采用梯度下降的算法更新，方法如下
概述 梯度下降算法（Gradient Descent Optimization）
梯度下降算法（Gradient Descent Optimization）是神經網絡模型訓練最常用的優化算法。對於深度學習模型，基本都是采用梯度下降算法來進行優化訓練的。梯度下降算法背后的原理：目標函數
關於參數
的梯度將是目標函數上升最快的方向。對於最小化優化問題，只需要將參數沿着梯度相反的方向前進一個步長，就可以實現目標函數的下降。這個步長又稱為學習速率
。參數更新公式如下：
其中
是參數的梯度，根據計算目標函數采用數據量的不同，梯度下降算法又可以分為批量梯度下降算法（Batch Gradient Descent），隨機梯度下降算法（Stochastic GradientDescent）和小批量梯度下降算法（Mini-batch Gradient Descent）。對於批量梯度下降算法，其是在整個訓練集上計算的，如果數據集比較大，可能會面臨內存不足問題，而且其收斂速度一般比較慢。隨機梯度下降算法是另外一個極端，是針對訓練集中的一個訓練樣本計算的，又稱為在線學習，即得到了一個樣本，就可以執行一次參數更新。所以其收斂速度會快一些，但是有可能出現目標函數值震盪現象，因為高頻率的參數更新導致了高方差。小批量梯度下降算法是折中方案，選取訓練集中一個小批量樣本計算，這樣可以保證訓練過程更穩定，而且采用批量訓練方法也可以利用矩陣計算的優勢。這是目前最常用的梯度下降算法。
對於神經網絡模型，借助於BP算法可以高效地計算梯度，從而實施梯度下降算法。但梯度下降算法一個老大難的問題是：不能保證全局收斂。如果這個問題解決了，深度學習的世界會和諧很多。梯度下降算法針對凸優化問題原則上是可以收斂到全局最優的，因為此時只有唯一的局部最優點。而實際上深度學習模型是一個復雜的非線性結構，一般屬於非凸問題，這意味着存在很多局部最優點（鞍點），采用梯度下降算法可能會陷入局部最優，這應該是最頭疼的問題。這點和進化算法如遺傳算法很類似，都無法保證收斂到全局最優。因此，我們注定在這個問題上成為“高級調參師”。可以看到，梯度下降算法中一個重要的參數是學習速率，適當的學習速率很重要：學習速率過小時收斂速度慢，而過大時導致訓練震盪，而且可能會發散。理想的梯度下降算法要滿足兩點：收斂速度要快；能全局收斂。為了這個理想，出現了很多經典梯度下降算法的變種，下面將分別介紹它們。
01
Momentum optimization
沖量梯度下降算法是BorisPolyak在1964年提出的，其基於這樣一個物理事實：將一個小球從山頂滾下，其初始速率很慢，但在加速度作用下速率很快增加，並最終由於阻力的存在達到一個穩定速率。對於沖量梯度下降算法，其更新方程如下：
可以看到，參數更新時不僅考慮當前梯度值，而且加上了一個積累項（沖量），但多了一個超參
，一般取接近1的值如0.9。相比原始梯度下降算法，沖量梯度下降算法有助於加速收斂。當梯度與沖量方向一致時，沖量項會增加，而相反時，沖量項減少，因此沖量梯度下降算法可以減少訓練的震盪過程。TensorFlow中提供了這一優化器：tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate=learning_rate,momentum=0.9)。
02
NAG
NAG算法全稱Nesterov Accelerated Gradient,是YuriiNesterov在1983年提出的對沖量梯度下降算法的改進版本，其速度更快。其變化之處在於計算“超前梯度”更新沖量項，具體公式如下：
既然參數要沿着
更新，不妨計算未來位置
的梯度，然后合並兩項作為最終的更新項，其具體效果如圖1所示，可以看到一定的加速效果。在TensorFlow中，NAG優化器為：tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate=learning_rate,momentum=0.9, use_nesterov=True)
圖1 NAG效果圖
03
AdaGrad
AdaGrad是Duchi在2011年提出的一種學習速率自適應的梯度下降算法。在訓練迭代過程，其學習速率是逐漸衰減的，經常更新的參數其學習速率衰減更快，這是一種自適應算法。其更新過程如下：
其中是梯度平方的積累量，在進行參數更新時，學習速率要除以這個積累量的平方根，其中加上一個很小值是為了防止除0的出現。由於是該項逐漸增加的，那么學習速率是衰減的。考慮如圖2所示的情況，目標函數在兩個方向的坡度不一樣，如果是原始的梯度下降算法，在接近坡底時收斂速度比較慢。而當采用AdaGrad，這種情況可以被改觀。由於比較陡的方向梯度比較大，其學習速率將衰減得更快，這有利於參數沿着更接近坡底的方向移動，從而加速收斂。
圖2 AdaGrad效果圖
前面說到AdaGrad其學習速率實際上是不斷衰減的，這會導致一個很大的問題，就是訓練后期學習速率很小，導致訓練過早停止，因此在實際中AdaGrad一般不會被采用，下面的算法將改進這一致命缺陷。不過TensorFlow也提供了這一優化器：tf.train.AdagradOptimizer。
04
RMSprop
RMSprop是Hinton在他的課程上講到的，其算是對Adagrad算法的改進，主要是解決學習速率過快衰減的問題。其實思路很簡單，類似Momentum思想，引入一個超參數，在積累梯度平方項進行衰減：
可以認為僅僅對距離時間較近的梯度進行積累，其中一般取值0.9，其實這樣就是一個指數衰減的均值項，減少了出現的爆炸情況，因此有助於避免學習速率很快下降的問題。同時Hinton也建議學習速率設置為0.001。RMSprop是屬於一種比較好的優化算法了，在TensorFlow中當然有其身影：tf.train.RMSPropOptimizer(learning_rate=learning_rate,momentum=0.9, decay=0.9, epsilon=1e-10)。
不得不說點題外話，同時期還有一個Adadelta算法，其也是Adagrad算法的改進，而且改進思路和RMSprop很像，但是其背后是基於一次梯度近似代替二次梯度的思想，感興趣的可以看看相應的論文，這里不再贅述。
05
Adam
Adam全稱Adaptive moment estimation，是Kingma等在2015年提出的一種新的優化算法，其結合了Momentum和RMSprop算法的思想。相比Momentum算法，其學習速率是自適應的，而相比RMSprop，其增加了沖量項。所以，Adam是兩者的結合體：
可以看到前兩項和Momentum和RMSprop是非常一致的，由於和的初始值一般設置為0，在訓練初期其可能較小，第三和第四項主要是為了放大它們。最后一項是參數更新。其中超參數的建議值是
。Adm是性能非常好的算法，在TensorFlow其實現如下： tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=0.001,beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-08)。
二
學習速率
前面也說過學習速率的問題，對於梯度下降算法，這應該是一個最重要的超參數。如果學習速率設置得非常大，那么訓練可能不會收斂，就直接發散了；如果設置的比較小，雖然可以收斂，但是訓練時間可能無法接受；如果設置的稍微高一些，訓練速度會很快，但是當接近最優點會發生震盪，甚至無法穩定。不同學習速率的選擇影響可能非常大，如圖3所示。
圖3 不同學習速率的訓練效果
理想的學習速率是：剛開始設置較大，有很快的收斂速度，然后慢慢衰減，保證穩定到達最優點。所以，前面的很多算法都是學習速率自適應的。除此之外，還可以手動實現這樣一個自適應過程，如實現學習速率指數式衰減：
在TensorFlow中，你可以這樣實現：
initial_learning_rate = 0.1 decay_steps = 10000 decay_rate = 1/10 global_step = tf.Variable(0, trainable=False) learning_rate = tf.train.exponential_decay(initial_learning_rate, global_step, decay_steps, decay_rate) # decayed_learning_rate = learning_rate * # decay_rate ^ (global_step / decay_steps) optimizer = tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate, momentum=0.9) training_op = optimizer.minimize(loss, global_step=global_step)
三、總結：
本文簡單介紹了梯度下降算法的分類以及常用的改進算法，總結來看，優先選擇學習速率自適應的算法如RMSprop和Adam算法，大部分情況下其效果是較好的。還有一定要特別注意學習速率的問題。其實還有很多方面會影響梯度下降算法，如梯度的消失與爆炸，這也是要額外注意的。最后不得不說，梯度下降算法目前無法保證全局收斂還將是一個持續性的數學難題。
四 、參考文獻：
-
Anoverview of gradient descent optimization algorithms: http://sebastianruder.com/optimizing-gradient-descent/.
-
Hands-OnMachine Learning with Scikit-Learn and TensorFlow, Aurélien Géron, 2017.
-
NAG:http://proceedings.mlr.press/v28/sutskever13.pdf.
-
Adagrad:http://www.jmlr.org/papers/volume12/duchi11a/duchi11a.pdf.
-
RMSprop:http://www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/slides/lecture_slides_lec6.pdf.
-
Adadelta:https://arxiv.org/pdf/1212.5701v1.pdf.
-
Adam:https://arxiv.org/pdf/1412.6980.pdf.
-
不同的算法的效果可視化：https://imgur.com/a/Hqolp.
其中
為學習率。算法部分主要着重公式推導，梯度下降算法在對應的機器學習項目實踐中會詳細介紹。