高數——間斷點

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間斷點即不連續點。先從連續概念開始。

 

一. 連續點

 

1. 定義1 在 點連續，當且僅當

(i) 在 點有定義，即 有意義；

(ii) 存在，有時候需要 和 存在且相等來保證；

(iii) .

注1. 好多教材上都直接用條件 (iii) 作為連續點的定義，確實條件 (iii) 隱含了條件 (ii) 和 (i) ，但這樣以來，就讓很多高數新人對 “連續” 概念，總是理解不到位。那為什么不把這三條都說出來呢；

注2. 如果你能理解函數極限的定義，相信你能區分 與 二者並無關系。

 

2. 連續也可以等價地定義：

在 點連續

當自變量的改變量 趨於 0 時，函數值的改變量 也趨於0，即

, , 當 時，有

 

3. 若 在 上每一點都連續，則稱 為 上的連續函數。

從幾何上看，連續函數是一條連綿不斷的曲線。

 

二. 間斷點

1. 間斷點即不連續點，所以否定上述定義中的三條（注意：否定任意一條都足以構成間斷點）

 

定義2. (1)若 在 點無定義——是間斷點；

(2) 若 在 點有定義，但極限 不存在——是間斷點；

(3) 若 在 點有定義，極限 也存在，但 ——是間斷點。

 

2. 間斷點的分類：設 是 的間斷點，

第一類間斷點：若 與 都存在，又包括兩類：

第二類間斷點：否定第一類，若 和 至少有一個不存在，又包括兩類：

 

注1. 有人問到震盪間斷點，解釋一下。第二類間斷點是左、右極限至少有一個不存在。而極限不存在只有兩種情況：(1) 極限“存在”，但為 , 對應無窮間斷點；(2) 至少有兩個趨於 的子列，使得函數值極限不相等，這種往往是以帶 和 項為代表，體現為震盪間斷點。

注2. 可見，判斷間斷點分類只是基於左、右極限，所以，遇見間斷點的題二話不說先求左右極限。

 

四類間斷點示意圖：

 

3. 判斷間斷點的一般解題步驟

由於初等函數在其定義區間上連續，故間斷點只可能出現在：(1) 分段函數的分段點處；(2) 初等函數無定義的點(分母=0處)。於是，

第1步：找出所有可能的間斷點；

第2步：逐個點計算其左極限、右極限，再判斷其類型。

 

例1 設 ，判斷其間斷點及其類型，並寫出其連續區間。

解：(1) 可能的間斷點：0，-1,1

(2) ① 對 ,

左右極限都存在，故是第一類間斷點，但不相等，故是跳躍間斷點。

② 對 ,

左右極限都不存在，故是第二類間斷點，又等於 , 故是無窮間斷點。

③ 對 ,

左右極限都存在，故為第一類間斷點，又相等，故為可去間斷點。

(3) 連續區間首先得是定義域內，其次函數在其上連續。而初等函數在其定義域內都是連續的，所以，該函數的連續區間為：

 

附圖：

注. 從圖形上看， 處怎么連續了呢？是因為一個點的長度是0，該空點是看不到的，當然最好是特殊標記一下。