函數間斷點

函數連續性：從直觀上看，函數連續性指的是函數值 $f(x)$ 隨自變量 $x$ 變化的特性，當自變量 $x$ 的變化越小時，所引起的因變量

$f(x)$ 的變化也越小，即函數值無躍變。要說明函數在某一個點連續，只需說明自變量在趨近該點時函數值的變化是連續的，使用極

限來描述這個動態的過程。函數 $f(x)$ 在某一個點 $x_{0}$ 處連續必須同時滿足 3 個條件：

    1）函數在 $x_{0}$ 處有定義

    2）$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在

    3）$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = f(x_{0})$

函數的連續性是由極限得到的，按照極限的定義知：這個函數首先必須在 $x_{0}$ 的鄰域內有定義。

鄰域內每個點都有定義並不代表函數在該鄰域連續，如狄利克雷函數就處處不連續，卻處處有定義。

也就是說：函數在一個點連續，只是說明函數在該點鄰域內的變化是連續的，無法說明函數在該點鄰域內連續。

舉個例子：函數 $f(x) = x^{2}D(x)$ 只在 $x = 0$ 處連續，說明在 $x = 0$ 的鄰域內，函數值隨自變量的變化是連續的，這是由於

函數 $D(x)$ 的稠密性造成的，鄰域內雖然處處不連續，但卻處處有定義。

 

函數間斷：函數 $f(x)$ 在某一個點 $x_{0}$ 的去心鄰域有定義，但在點 $x_{0}$ 不連續，即上面三個條件不全滿足，則函數在該點間斷，

          該點為間斷點。間斷點可以有定義也可無定義，間斷只是考慮極限，而極限只與該點左右極限有關，和點的取值無關。

   1）第一類間斷點

      a. 可去間斷點：函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處左右極限都存在且相等，即該點處極限存在。若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處有定義，則$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \neq  f(x_{0})$。

                 

      b. 跳躍間斷點：$f(x)$ 在 $x_{0}$ 處左右極限都存在但不相等。

                 

   2）第二類間斷點

      a. 無窮間斷點：左右極限至少有一個不存在(不存在就是為 $\infty$ )。

            

      b. 振盪間斷點：間斷點處的極限振盪不存在，此處是振盪不存在，並不是極限為無窮。下圖函數，當 $x\rightarrow 0$，函數值在 -1和1之間交替取值。