運動積分
在力學系統的運動過程中，描述其狀態的 \(2s\) 個變量 \(q_i, \dot q_i \quad(i = 1, 2, \cdots, s)\) 隨時間變化。但是存在關於這些變量的某些函數，其值在運動過程中保持恆定，且僅由初始條件決定，這樣的函數稱為 運動積分。
能量守恆
由 時間均勻性 可推導出 能量守恆。
由於時間具有均勻性，封閉系統的拉格朗日函數 \(L\) 不顯含時間 \(t\)，則有
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{dL}{dq} \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = C \]
已經由最小作用量原理，推導出了系統的拉格朗日方程（微分運動方程），有
\[\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) = \frac{dL}{dq} \]
代入上式則有
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{dL}{dq} \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \frac{d}{dt} \dot q \]
進一步得到
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \frac{d}{dt} \dot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q} \dot q) = \frac{d}{dt}(\sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q) \]
因此有
\[\frac{d}{dt}(\sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q) - \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} ( \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q - L)= 0 \]
因此可知
\[E = \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q - L \]
在封閉系統運動過程中保持不變，是運動積分，稱為系統的能量。
封閉系統的拉格朗日函數可以寫成
\[L = T(q, \dot q) - U(q) \]
動量守恆
由空間的均勻性可以推導出 動量守恆。
由於空間的均勻性，封閉力學系統在空間中發生平移時，其性質保持不變。那么，當期位置從 \(\boldsymbol{r}_\alpha\) 移動至 \(\boldsymbol{r}_\alpha + \boldsymbol{\varepsilon}\) 。在速度不變時，坐標無窮小的改變使拉格朗日函數發生改變
\[\delta L = \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \delta \boldsymbol{r}_\alpha = \boldsymbol{\varepsilon} \cdot \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \]
對於任意 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ，有 \(\delta L\) 為零，則
\[\sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} = 0 \]
由系統的拉格朗日方程可得
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]
用 \(\boldsymbol{r}_\alpha\) 代換廣義坐標 \(q_i\)，用 \(\boldsymbol{v}_\alpha\) 代換廣義速度 \(\dot q\)，即為
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \]
代入上式，有
\[\sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} = \sum_\alpha \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = \frac{d}{dt} \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = 0 \]
那么，則有
\[\boldsymbol{P} = \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} \]
在運動中保持不變，矢量 \(\boldsymbol{P}\) 稱為系統的動量。
在沒有外場的情況下，動量矢量的三個分量都守恆。然而，在有外場的情況下，如果是能不顯含某個笛卡爾坐標，則相應的該方向的動量分量守恆。
角動量守恆
由空間各向同性可得到封閉系統的角動量守恆。
各向同性 意味着封閉系統整體在空間中任意轉動時，力學特性保持不變。引入無窮下轉動矢量 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\)，其大小等於轉角 \(\delta\varphi\)，方向沿轉動軸。
當轉過 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\) 時，個質點徑矢變化為
\[|\delta \boldsymbol{r}| = r sin \theta \cdot \delta\varphi \]
位移矢量的方向垂直過 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\) 的平面，顯然有
\[\delta \boldsymbol{r} = \delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{r} \]
在系統轉動時，不僅徑矢的方向改變，而且所有質點的速度也發生改變，並且所有矢量的變化規律相同，所以，速度相對固定坐標系的增量為
\[\delta \boldsymbol{v} = \delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{v} \]
當發生轉動時，拉格朗日函數不變，即有
\[\delta L = \sum_\alpha (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \cdot \delta \boldsymbol{r}_\alpha + \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} \cdot \delta \boldsymbol{v}_\alpha) = 0 \]
在推導動量守恆時，定義了
\[\boldsymbol{p}_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} \]
為質點的動量。代入拉格朗日方程得到
\[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial r} \]
有
\[\boldsymbol{\dot p}_\alpha = \frac{d}{dt} \boldsymbol{p}_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \]
代入上式，有
\[\delta L = \sum_\alpha (\boldsymbol{\dot p}_\alpha \cdot \delta \boldsymbol{r}_\alpha + \boldsymbol{p}_\alpha \cdot \delta \boldsymbol{v}_\alpha) = \sum_\alpha (\boldsymbol{\dot p}_\alpha \cdot (\delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{r}) + \boldsymbol{p}_\alpha \cdot (\delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{v})) = 0 \]
由 \(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a})\) 可將上式轉化為
\[\delta L = \sum_\alpha (\delta \boldsymbol{\varphi} \cdot (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha [(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha)] = 0 \]
又由 \(AdB + BdA = dAB\) 以及 $ v = dr/dt$，可得如下公式：
\[\delta L = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha [(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha)] = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha \frac{d}{dt}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = 0 \]
又由於轉角 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\)的任意性，那么，封閉系統滿足
\[\sum_\alpha \frac{d}{dt}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = 0 \]
即有，封閉力學系統運動過程中，矢量
\[\boldsymbol{M} = \sum_\alpha \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha \]
恆定不變，這個物理量稱之為系統的角動量。
任何封閉系統總共有 7 個這樣的運動積分：能量、動量的三個分量和角動量的三個分量。
