我之前 寫過 幾篇 文章， 探討 二體（一體） 問題， 比如
《一體方程 二體方程 三體方程》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12075154.html
《如果沒有 角動量守恆定律 ， 二體 微分方程 是 解不出來 的》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12445223.html
二個 質點， 在 萬有引力 下 運動， 是 二體， 如果 其中一個 質點 是 “固定” 的， 是 慣性系， 就是 一體 。
二體 可以 通過 約化質量 簡化為 一體 。
我們接下來 研究 一體， 設 有 2 個 質點 A 、B ， A 、B 間 存在 萬有引力， A 是 “固定” 的， B 以 一定的 初速度 運動， 我們 打算 推導出 B 的 運動軌跡 是 一個 橢圓 。
也可以說， B 圍繞 A 公轉， B 的 公轉軌道 為 橢圓 。
我們 打算 使用 極坐標系， 先 推導 一下 極坐標系 里的 橢圓方程 。
設 橢圓 的 的 左焦點 為 A， 右焦點 為 B， 圓心 為 O， 橢圓 上 任取 一點 C， 以 A 為 原點， AB 為 極軸， 建立 極坐標系 。
如圖， ∠ CAO 為 極角 θ， AC 為 極徑 ρ ， 根據 橢圓定義， OD = OE = a， OA = OB = c 。
根據 橢圓定義， AC + BC = 2a ，
AH = AC * cos θ = ρ * cos θ
CH = AC * sin θ = ρ * sin θ
BH = AB - AH = 2c - ρ * cos θ
BC = 根號 ( CH ² + BH ² ) = 根號 [ ( ρ * sin θ ) ² + ( 2c - ρ * cos θ ) ² ]
= 根號 [ ( ρ * sin θ ) ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ + ( ρ * cos θ ) ² ]
= 根號 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ]
AC + BC = 2a
ρ + 根號 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ] = 2a
根號 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ] = 2a - ρ
ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ = 4 a ² - 4 a ρ + ρ ²
c ² - c ρ * cos θ = a ² - a ρ
ρ ( a - c * cos θ) = a ² - c ²
ρ = ( a ² - c ² ) / ( a - c * cos θ )
ρ = ε / ( 1 - e * cos θ ) (1) 式
(1) 式 就是 極坐標系 的 橢圓方程， 其中 ε = ( a ² - c ² ) / a ， e = c / a 。
推導一下 引力勢能 公式 。 設 質點 A 的 質量 為 M， 質點 B 的 質量 為 m， B 相對 A 的 引力勢能 為 Ep， A 對 B 的 引力 為 F， A 、B 間 距離 為 ρ，
Ep = ʃ F dρ = ʃ G M m / ρ ² dρ = - G M m / ρ
Ep = - G M m / ρ (2) 式
(2) 式 就是 引力勢能 公式 。
以 質點 A 為 原點， AB 為 極徑 ρ ， 建立 極坐標系 。
設 B 相對於 A 的 角動量 為 L ， 根據 角動量守恆定律， L 為 常量 。
設 B 的 線速度 為 V， 角速度 為 ω ， 角線速度 為 Vω， 徑向速度 為 Vρ， Vρ 是 V 在 ρ 方向 的 速度分量， 和 ρ 正交 的 方向 稱為 角方向， Vω 是 V 在 角方向 的 速度分量 。
L = m * Vω * ρ
Vω = L / ( m * ρ ) (3) 式
ω = Vω / ρ = L / ( m * ρ ) / ρ = L / ( m * ρ ² )
又 ω = dθ / dt ，
dθ / dt = L / ( m * ρ ² )
dt = m * ρ ² / L dθ (4) 式
設 B 機械能 為 E， 動能 為 Ek， 引力勢能 為 Ep， 根據 機械能守恆， E 為 常量 。
E = Ek + Ep
Ek = E - Ep = E + G M m / ρ
又 Ek = 1/2 * m V ² ，
1/2 * m V ² = E + G M m / ρ
V = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) (5) 式
Vρ = 根號 ( V ² - Vω ² ) = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
Vρ = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) (6) 式
又 Vρ = dρ / dt ，
dρ / dt = 根號 ( V ² - Vω ² ) = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dt = dρ / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) (7) 式
根據 (4) 式 (7) 式 ，
m * ρ ² / L dθ = dρ / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dθ = 1 / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
兩邊積分 ，
ʃ dθ = ʃ 1 / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根號 ( 2 E / m + ( G M m / L ) ² - ( G M m / L ) ² + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根號 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - [ ( G M m / L ) ² - 2 G M / ρ + L ² / ( m * ρ ) ² ] } * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根號 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] ² } * L / m * ρ ² dρ (8) 式
令 u = G M m / L - L / ( m * ρ ) ，
du / dρ = u ′ = [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] ′ = - L / m * - 1 / ρ ² = L / ( m * ρ ² )
du = L / ( m * ρ ² ) dρ (9) 式
將 u 和 (9) 式 代入 (8) 式
θ = ʃ 1 / 根號 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - u ² } du
根據 積分公式 ʃ 1 / 根號 ( a ² - x ² ) dx = arcsin ( x / a ) + C ，
θ = arcsin { u / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] } + C ，
可以 將 常數 C 改名為 θ₀， θ₀ 表示 初始 θ， θ₀ 是 常量 。
θ = arcsin { u / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] } + θ₀
θ - θ₀ = arcsin { u / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] }
因為 θ₀ 是 積分常數 C， C 是 任意常數， 所以 θ - θ₀ 可以 改成 θ + θ₀ ，
θ + θ₀ = arcsin { u / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] }
sin ( θ + θ₀ ) = u / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
把 u = G M m / L - L / ( m * ρ ) 代回來，
sin ( θ + θ₀ ) = [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] / 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) = G M m / L - L / ( m * ρ )
L / ( m * ρ ) = G M m / L - 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ )
ρ = L / m / { G M m / L - 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) }
ρ = ( L ² / G M m ² ) / { 1 - L / G M m * 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) }
令 ε = L ² / G M m ² ， e = L / G M m * 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] ，
ρ = ε / { 1 - e * sin ( θ + θ₀ ) }
令 θ ′ = π / 2 - ( θ + θ₀ )
cos θ ′ = sin ( θ + θ₀ )
ρ = ε / { 1 - e * cos θ ′ }
把 θ ′ 改回 用 θ 表示 ，
ρ = ε / { 1 - e * cos θ } (10) 式
(10) 式 是 質點 B 的 θ 坐標 和 ρ 坐標 的 關系， 也就是 質點 B 的 運動軌跡 方程 。
(10) 式 符合 (1) 式 橢圓方程 的 形式， 所以， 質點 B 的 運動軌跡 是 一個 橢圓， 也可以說， 質點 B 的 公轉軌道 是 一個 橢圓， 這個 橢圓 的 方程 是 (10) 式 。
可以 解 出 橢圓 的 標准參數 a 、b 、c 。 a 是 長半軸， b 是 短半軸， c 是 焦點 到 圓心 的 距離， b ² = a ² - c ² 。
因為 ε = ( a ² - c ² ) / a ， e = c / a
又 因為 ε = L ² / G M m ² ， e = L / G M m * 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
( a ² - c ² ) / a = L ² / G M m ² (11) 式
c / a = L / G M m * 根號 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] (12) 式
解 (11) 式 (12) 式 方程組 可得 a 、c， 根據 b ² = a ² - c ² 可得 b 。 過程 略 。
設 時間 為 t， 求 ρ 、θ 和 t 的 關系 。
由 (6) 式， 有
Vρ = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dρ / dt = Vρ = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dρ / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = dt
兩邊積分，
ʃ dρ / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = ʃ dt
ʃ dρ / 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = t
ʃ dρ / 根號 ( 2 E / m * ρ ² / ρ ² + 2 G M ρ / ρ ² - L ² / m ² / ρ ) ² ) = t
ʃ dρ / 根號 [ ( 2 E / m * ρ ² + 2 G M ρ - L ² / m ² ) / ρ ² ] = t
ʃ ρ / 根號 ( 2 E / m * ρ ² + 2 G M ρ - L ² / m ² ) dρ = t
根號 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根號 [ ρ ² + G M m / E * ρ - L ² / ( 2 E m ) ] dρ = t
根號 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根號 [ ρ ² + G M m / E * ρ + [ G M m / ( 2 E ) ] ² - [ G M m / ( 2 E ) ] ² - L ² / ( 2 E m ) ] dρ = t
根號 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根號 { [ ρ + G M m / ( 2 E ) ] ² - [ G M m / ( 2 E ) ] ² - L ² / ( 2 E m ) } dρ = t
令 D1 = G M m / ( 2 E ) ， D2 = 根號 { [ G M m / ( 2 E ) ] ² + L ² / ( 2 E m ) } ， 簡化一下 式子 ，
根號 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根號 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ = t (13) 式
ʃ ρ / 根號 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ
= ʃ ( ρ + D1 - D1 ) / 根號 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ (14) 式
令 u = ρ + D1 ，
du / dρ = u ′ = 1
du = dρ
將 u 和 du = dρ 代入 (14) 式 ，
ʃ ( u - D1 ) / 根號 ( u ² - D2 ² ) du
= ʃ ( u / D2 - D1 / D2 ) / 根號 [ ( u / D2 ) ² - 1 ] du (15) 式
令 w = u / D2 ，
dw / du = w ′ = 1 / D2
du = D2 * dw
將 w 和 du = D2 * dw 代入 (15) 式 ， 令 D3 = D1 / D2 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) * D2 * dw
= D2 * ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) dw (16) 式
令 w = sec α ，
ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) dw
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根號 [ ( sec α ) ² - 1 ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根號 [ 1 / ( cos α ) ² - 1 ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根號 [ ( sin α ) ² / ( cos α ) ² ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - ʃ D3 * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - D3 * ʃ cot α d ( sec α ) (17) 式
又
d ( sec α ) / dα = ( sec α ) ′ = sec α * tan α
d ( sec α ) = sec α * tan α * dα (18) 式
由 (18) 式 ，
ʃ sec α * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α * sec α * tan α * dα
= ʃ ( sec α ) ² dα
根據 導數公式 ( tan x ) ′ = ( sec x ) ² ，
ʃ ( sec α ) ² dα = tan α
ʃ sec α * cot α d ( sec α ) = ʃ ( sec α ) ² dα = tan α
ʃ sec α * cot α d ( sec α ) = tan α (19) 式
由 (18) 式 ，
ʃ cot α d ( sec α )
= ʃ cot α * sec α * tan α * dα
= ʃ sec α dα
d ( sin α ) / dα = ( sin α ) ′ = cos α
dα = 1 / cos α * d ( sin α )
ʃ sec α dα
= ʃ sec α * 1 / cos α * d ( sin α )
= ʃ 1 / cos α * 1 / cos α * d ( sin α )
= ʃ 1 / ( cos α ) ² d ( sin α )
= ʃ 1 / [ 1 - ( sin α ) ² ] d ( sin α )
= - ʃ 1 / [ ( sin α ) ² - 1 ] d ( sin α )
根據 積分公式 ʃ 1 / ( x ² - a ² ) = 1 / ( 2 a ) * ln | ( x - a ) / ( x + a ) | + C ，
- ʃ 1 / [ ( sin α ) ² - 1 ] d ( sin α )
= - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
ʃ sec α dα = - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | (20) 式
實際上， ʃ sec α dα 的 積分公式 是
ʃ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C (21) 式
這樣的話， (20) 式 和 (21) 式 應該都是 ʃ sec α dα 的 答案 ， 對 (20) 式 求導 可得 sec α ， 這說明 (20) 式 也是 ʃ sec α dα 的 積分結果 。
渝中壽人 老師 告知 (20) 式 和 (21) 式 可以 推導證明 等價 。
我在 電腦 上 寫了個 程序 測試了一下， 取了 10 個 α 值 代入 (20) 式 (21) 式 計算， 結果如下 ：
第 1 列 是 α ， 第 2 列 是 (21) 式 的 值， 第 3 列 是 (20) 式 的 值， 第 4 列 是 (20) 式 減 (21) 式 的 差 。
1 , 1.2261911708835171 , 1.2261911708835171 , 0
2 , 1.5234524435626735 , 1.5234524435626735 , 0
3 , 0.1420681583893966 , 0.14206815838939643 , -1.6653345369377348e-16
4 , -0.9886883909790616 , -0.9886883909790607 , 8.881784197001252e-16
5 , -1.9323667197459249 , -1.932366719745925 , -2.220446049250313e-16
6 , -0.2870479599298176 , -0.28704795992981746 , 1.1102230246251565e-16
7 , 0.787493206261602 , 0.787493206261602 , 0
8 , 2.6153910576006307 , 2.615391057600631 , 4.440892098500626e-16
9 , 0.4381604527564729 , 0.4381604527564728 , -1.1102230246251565e-16
10 , -0.609849445357189 , -0.6098494453571889 , 1.1102230246251565e-16
可以看到， (20) 式 和 (21) 式 的 差 有 的 為 0， 有的 不為 0， 但是很小 。 比如 1.1102230246251565e-16 這種 是 科學記數法， 表示 1.1102230246251565 乘以 10 的 -16 次方 ， 這個 值 很小， 可以認為 是 0 。
實際上， 相減 的 兩個數 的 絕對值 大於 0.1 ， 小於 3， 差 是 10 的 -16 次方 這個量級 可以說 是 雙精度浮點型 的 精度 以內 的 最小值 了 ， 從這里來看， 也可以認為 差 是 0 。
另外， 因為 計算 的 是 自然對數 和 三角函數， 對 自然對數 和 三角函數 只能取 有限 的 小數位數， 再加上 雙精度浮點型 的 位數（精度） 也是有限的， 兩個 等價 而 形式 不同 的 表達式 計算 得到 的 結果 有 微小差別 也是 正常 的 。
總之呢， 可以認為 (20) 式 和 (21) 式 的 計算結果 是 相等 的 。
實際上， (20) 式 和 (21) 式 都可以 通過 求導 證明 是 sec α 的 原函數， 這樣 兩者之間 應該 相差 一個 常數 C 。
可以取 α = 0 來看， 當 α = 0 時，
(20) 式 = - 1/2 * ln | ( sin 0 - 1 ) / ( sin 0 + 1) | = 0
(21) 式 = ln | sec 0 + tan 0 | = 0
C = 0 - 0 = 0
即 (20) 式 和 (21) 式 之間 相差 的 常數 C = 0， 也就是說 兩者 是 等價 的 表達式， 也可以說 是 同一個 函數 。
於是，
ʃ cot α d ( sec α )
= ʃ sec α dα
= - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
ʃ cot α d ( sec α ) = - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | (22) 式
將 (19) 式 (22) 式 代回 (17) 式 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) dw
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - D3 * ʃ cot α d ( sec α )
= tan α - D3 * - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
= tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
代回 (16) 式 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) * D2 * dw
= D2 * ʃ ( w - D3 ) / 根號 ( w ² - 1 ) dw
= D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] (23) 式
(23) 式 就是 (14) 式 的 積分結果 。 將 (23) 式 代回 (13) 式 ，
根號 [ m / ( 2 E ) ] * D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] = t
加上一個 積分常數 t₀， 表示 初始時間 。
根號 [ m / ( 2 E ) ] * D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] = t + t₀ (24) 式
由 w = sec α ， α = arcsec ( w ) 。
(24) 式 就是 ρ 和 t 的 關系 。
(24) 式 中， t 是 ρ 的 顯函數 ， ρ 是 t 的 隱函數， 但 理論上， 隱函數 也可以 用 t 求 ρ 。
至此， 我們 得出 了 ：
運動軌跡， 也就是 ρ 和 θ 的 關系 ： (10) 式
ρ 和 t 的 關系 ： (24) 式
θ 和 t 的 關系 ： 根據 (10) 式 (24) 式， 可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 θ 。
V 和 ρ 的 關系 ： (5) 式
Vω 和 ρ 的 關系 ： (3) 式
Vρ 和 ρ 的 關系 ： (6) 式
V 和 θ 的 關系 ： 根據 (5) 式 (10) 式， 可以 用 V 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 V 。
Vω 和 θ 的 關系 ： 根據 (3) 式 (10) 式， 可以 用 Vω 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 Vω 。
Vρ 和 θ 的 關系 ： 根據 (6) 式 (10) 式， 可以 用 Vρ 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 Vρ 。
V 和 t 的 關系 ： 根據 (5) 式 (24) 式， 可以 用 V 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 V 。
Vω 和 t 的 關系 ： 根據 (3) 式 (24) 式， 可以 用 Vω 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 Vω 。
Vρ 和 t 的 關系 ： 根據 (6) 式 (24) 式， 可以 用 Vρ 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 Vρ 。
也就是 得出了 時間 、速度 、位置 三者 的 關系， 時間 是 t， 速度 是 V 、Vω 、Vρ， 位置 是 ρ 、θ 。
這算是 把 二體問題 解出來 了 ？
其實 還可以 這樣 求 θ 和 t 的 關系， 由 (4) 式， 有
dt = m * ρ ² / L dθ
根據 (1) 式 ρ = ε / ( 1 - e * cos θ ) ，
dt = m / L * [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ
兩邊積分，
ʃ dt = ʃ m / L * [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ
t = m / L * ʃ [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ (25) 式
令 u = 1 - e * cos θ ，
du / dθ = ( 1 - e * cos θ ) ′ = e * sinθ
dθ = 1 / ( e * sinθ ) du (26) 式
將 u 和 (26) 式 代入 (25) 式 ，
t = m / L * ʃ [ ε / u ] ² * 1 / ( e * sinθ ) du
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * 1 / sinθ du (27) 式
由 u = 1 - e * cos θ ， 有
e * cos θ = 1 - u ，
cos θ = ( 1 - u ) / e
θ = arccos [ ( 1 - u ) / e ] (28) 式
將 (28) 式 代入 (27) 式，
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * 1 / sin { arccos [ ( 1 - u ) / e ] } du (29) 式
根據公式 ( sin α ) ² + ( cos α ) ² = 1 ，
sin { arccos [ ( 1 - u ) / e ] } = 根號 { 1 - [ ( 1 - u ) / e ] ² } = 1 / e * 根號 { e ² - ( 1 - u ) ² } (30) 式
將 (30) 式 代入 (29) 式，
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * e / 根號 { e ² - ( 1 - u ) ² } du
t = m * ε ² / L * ʃ 1 / u ² * 1 / 根號 { e ² - ( 1 - u ) ² } du
t = m * ε ² / L * ʃ 1 / { u ² * 根號 [ e ² - ( 1 - u ) ² ] } du (31) 式
(31) 式 中 有一個 積分 ：
ʃ 1 / { u ² * 根號 [ e ² - ( 1 - u ) ² ] } du (32) 式
只要 求出 (32) 式 這個 積分， 就可以 得到 θ 和 t 的 關系 。
注意， (32) 式 里 的 e = c / a ， 是 橢圓 的 偏心率， 不是 自然對數 的 那個 e 。
在 (32) 式 這個 積分 里 ， e 是 常量， u 是 自變量 。
還可以 順帶 看一下 求 橢圓 的 弧長 （周長） 。 對 (1) 式 橢圓方程 求導 可得 ：
ρ ′ = [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ′ (33) 式
具體 的 求導過程 略 。
橢圓 弧長 微元 ds = 根號 [ ( ρ dθ ) ² + ( dρ ) ² ]
dρ / dθ = ρ ′
dρ = ρ ′ dθ
ds = 根號 [ ( ρ dθ ) ² + ( dρ ) ² ] = 根號 [ ( ρ dθ ) ² + ( ρ ′ dθ ) ² ] = 根號 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ
橢圓弧長 s = ʃ ds = ʃ 根號 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ
s = ʃ 根號 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ (34) 式
(34) 式 這個 積分 能不能 積出來 不知道， 但是 應該 可以 表示 為 泰勒級數 。
還可以 s = ʃ V dt ，
將 (5) 式 V = 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) 代入，
s = ʃ 根號 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) dt (35) 式
(35) 式 中 ρ 對 dt 積分， 從 (24) 式 可以知道 ρ 和 t 的 關系， 代入 (35) 式 就可以變成 t 對 dt 積分， 可惜的是， (24) 式 是 ρ 的 隱函數， 不知怎么代入 。
本文 又名 《從 橢圓軌道 看 平方反比 的 深刻根源》， 又名 《笑談 橢圓軌道》， 又名 《戲說 平方反比》， 又名 《戲說 橢圓軌道》， 又名 《笑談 平方反比》， 又名 《神奇 的 角動量守恆》， 又名 《試試看 求 橢圓弧長》 。