根據 勻速圓周運動 向心力 公式， 可以計算出 第一宇宙速度， 同樣的道理， 可以計算出 衛星 在 軌道半徑 r 處 的 公轉 速度 v 。
衛星 繞 地球 公轉 可 看作 是 勻速圓周運動， 所以， 設 地球 質量 為 M， 衛星 質量 為 m， 軌道半徑 為 r， 將 地球 和 衛星 看作 質點， r 是 地心 到 衛星 的 距離 。
地球 對 衛星 的 引力 F引 = G M m / r²
衛星 公轉 勻速圓周運動 的 向心力 F向 = m v² / r
因為 F引 = F向 ，
所以 G M m / r² = m v² / r ，
v = ( G M / r ) 開方 ， 這就是 衛星 的 軌道公式， 呵呵呵 。 設 軌道半徑 為 r， 則 衛星 的 公轉速度（線速度） v = ( G M / r ) 開方 。
就是說， 要 讓 衛星 在 軌道半徑 為 r 的 軌道 上 繞 地球 公轉， 衛星 的 線速度 v = ( G M / r ) 開方 。
所以， 要把 衛星 送入 半徑 為 r 的 軌道， 一個 主要 步驟 是 讓 衛星 在 r 處 的 速度 v = ( G M / r ) 開方， 且 速度方向 是 軌道 的 切線方向（垂直於 衛星 和 地心 的 連線 的 方向） 。
這個 步驟 由 末級火箭 來 完成 。 對 末級火箭 的 控制 應該算 精密控制 技術 吧， 哈哈 。
對於 自然界 中的 天體 來說， 比如 太陽 和 地球， 以及 9 大行星， 彗星， 就以 地球 和 太陽 為例， 如果 地球 要以 勻速圓周運動 圍繞 太陽 公轉， 即 地球 公轉 軌道 是 圓形， 則 需要 地球 在 距離 太陽 r 時， 速度 剛好 是 v = ( G M / r ) 開方 ， 且 速度方向 是 軌道 的 切線方向（垂直於 地球中心 和 太陽中心 的 連線 的 方向） ， 顯然， 在 自然界 中， 這樣的 概率 很小 。
所以， 天體 的 軌道 很少 是 正圓， 普遍 是 橢圓 。 但 這個 “橢圓” 可以說 不是 嚴格 的 橢圓， 而是一個 近似 橢圓 的 環線 。
環線 就是指 不是 封閉 的， 即 行星 下次 公轉 的 軌道 和 本次 公轉 的 軌道 不是 完全重合 的， 會 有 一點 偏離， 偏離 后 仍然 是 一個 近似 橢圓 的 環線 。
這種 現象 其實 就是 “進動” 。
天體 的 進動 有 著名 的 “水星進動” 和 地球 的 “歲差” ， 等等 。
現在 對 歲差 的 解釋 是 地球 自傳軸 傾斜方向 的 進動， 注意 是 傾斜方向， 不是 傾斜角度 。
但 歲差 也可以用 地球 公轉軌道 的 進動 來 解釋 ， 因為 地球 公轉軌道 的 進動 也可以 產生 歲差 的 效果 。
歲差 的 效果 就是 明年 的 今天 面向太陽 的 角度 比 今年 的 今天 面向太陽 的 角度 有一點 偏移 。
上面這些 也可以 概括 為 ： 公轉軌道 沒有 橢圓軌道 ， 橢圓形 的 公轉軌道 是 不存在 的 ， 理論上， 公轉軌道 可以是 正圓， 或 存在 進動 的 近似 橢圓 環線 。
我們可以在 邏輯 上 來 證明 這一點， 這 算不算 一個 定理 ？
我們 把 恆星 和 行星 看作 2 個 質點， 為了便於討論， 將 恆星 命名 為 質點 A， 行星 命名 為 質點 B， 其實 行星 和 衛星 的 關系 也是 一樣 。
設 A 的 質量 遠大於 B 的 質量， B 對 A 的 引力 對 A 的 影響 很微小， 可以 忽略， 即 A 是 “固定” 的， 或者說 A 是 慣性系 。
設 A 的 質量 為 M， B 的 速度 為 v， AB 長度 為 r， 由 上面 的 討論 可知， 只有 v = ( G M / r ) 開方， 且 速度方向 是 軌道 的 切線方向（垂直於 衛星 和 地心 的 連線 的 方向） 時， B 才會 以 r 為 半徑 圍繞 A 進行 勻速圓周運動， 否則， B 將會以 r 變大 或 變小 的 兩種 可能 繼續 飛行 。
設 A 、B 不會相撞 且 B 不會 從 A 逃逸（當 r -> 無窮 時， v < 0 。 v > 0 表示 遠離 A 的 方向， v < 0 表示 靠近 A 的 方向 。 當然， 這里 的 v 是 以 A 為 極點 的 極坐標系 里 的 v， 上文 中 的 v 是 以 A 為 原點 的 直角坐標系 的 v） ， 則 B 的 飛行 軌跡 總在 嘗試 尋找 滿足 v = ( G M / r ) 開方， 且 速度方向 是 軌道 的 切線方向（垂直於 衛星 和 地心 的 連線 的 方向） 的 狀態， 我們將這個 狀態 稱為 “勻速圓周狀態” 。 若 B 找到 勻速圓周狀態， 則 B 會 圍繞 A 勻速圓周運動 ， 若 找不到 這個 狀態， 則 會 不停 的 改變 相對於 A 的 切向 和 法向 速度 以及 AB 的 距離 r 繼續 尋找 勻速圓周狀態 。
接下來 討論 尋找 勻速圓周運動 的 運動軌跡 。 假設 v r 滿足 勻速圓周狀態， 則 B 圍繞 A 勻速圓周運動， 運動軌跡 是 一個 以 A 為 圓心 的 正圓，
設 在 (x, y) 處 滿足 勻速圓周狀態 的 v 為 v圓 ， 則， 對於 (x, y) 處 的 B， 若 v = v圓， 則 作 以 A 為 圓心 的 勻速圓周運動， 運動軌跡 是 以 A 為 圓心 的 正圓，
若 v != v圓， 即 v 與 v圓 有 偏差， 則 運動軌跡 與 v圓 時 的 運動軌跡 有 偏差， 即 與 正圓 有 偏差， 這個 偏差 反映 為 正圓 的 圓周 曲線 被 拉伸 或 壓縮 ， 正圓 的 圓周曲線 被 拉伸 或 壓縮 即為 橢圓曲線 。
好吧， 說到這里， 我也不能從 邏輯 上 證明 公轉軌道 沒有 橢圓軌道 。 哈哈哈 。
沒辦法， 還是 只好 用 模擬 的 辦法， 我之前 寫過 一個 二體模擬程序 和 一個 n 體模擬程序， 見 《我寫了一個 二體 模擬程序， 大伙來看看吧》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11581879.html ， 《我寫了一個 n-體 模擬程序， 大伙來看看吧》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11626271.html 。
我把 二體模擬程序 修改了一下， 改成了 一體模擬程序， 一體 和 二體 的 區別 是 一體 的 兩個質點 中 的 一個質點 是 “固定” 的 。
一體問題 又稱為 理想公轉問題 。
一體模擬程序 的 項目地址 是 ： https://github.com/kelin-xycs/One-Body ， 進入 項目頁面 后， 點擊 右邊 的 綠色按鈕 “Clone or download” 就可以下載 項目代碼 了， 項目 只有一個 One-Body.html 文件， 用 瀏覽器 打開 就可以 運行 。
可以 設置 不同 的 參數 來 演示， 可以看到， 橢圓軌道 還真的 存在， 而且 是 普遍存在 。 可以說， 除了 碰撞 和 逃逸， 一體問題 存在 周期性 的 通解， 通解 是 橢圓軌道， 正圓 算是 橢圓 的 特例 。 具體的， 可以說， 除了 碰撞 和 逃逸， 一體 里 的 質點 B 以 任意 的 初始位置 和 初始速度 開始運動， 運動軌跡 總是 一個 橢圓， 勻速圓周運動 的 正圓軌道 算是 橢圓 的 特例 。
如果 質點 A 不是 “固定” 的， 就變成了 二體問題， 二體 中， 若以 A 為 參照系， B 的 軌跡 仍然 是 橢圓， 但 相對於 第三方 參照系， B 的 軌跡 不是 橢圓， 而是 存在 進動 的 類橢圓 環線 。
所以， 對於 天體 的 公轉， 以 水星進動 為例， 如果 不考慮 其它 天體 對 太陽 和 水星 的 引力作用， 或者說， 在 一個 理想場景 中， 只有 太陽 和 水星 2 個 物體， 則 如果 以 太陽 為 參照系， 水星 的 公轉軌道 沒有 進動， 但 相對於 第三方 參照系， 水星 的 公轉軌道 存在 進動 。
如果 從 數學 上 來 證明， 以 質點 A 為 坐標系 原點， 可以給出一個 方程組 ：
d²x / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * x / (x² + y²)開方
d²y / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * y / (x² + y²)開方
化簡 得：
d²x / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * x
d²y / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * y
這就是 一體問題 的 微分方程組， 解這個 微分方程組 估計 有 難度 。
當然， 也可以對 這個 微分方程組 定性分析 。
我們可以來 研究 一體問題 里 的 一個 特例， 這跟 逃逸 有關 。 這個 特例 就是 B 的 初速度 是 相對於 A 的 法線 方向， 即 AB 方向， 也可以說 B 相對於 A 沒有 切線方向 的 速度分量 。 具體的說， 就是 B 的 初速度 方向 在 AB 直線 上 。
這個 特例 我們 稱之為 直線運動特例， 簡稱 直線特例 。
在 直線特例 中， 設 B 的 初速度 為 V₀ ， 如果 V₀ 方向 是 靠近 A 的 方向， 則 結果 就是 A B 碰撞， 如果 V₀ 方向 是 遠離 A 的 方向 ， 則 可能 逃逸， 如果 不逃逸， 就是 向 遠離 A 的 方向 直線運動 一段時間 后， 速度 被 引力 減速 為 0， 然后 又 逐漸 被 引力 加速， 向着 A 加速運動， 最終 和 A 碰撞 。
如果 不考慮 碰撞， 即 把 A B 看成是 理想 的 點， 可以 “重疊”， 也可以說 把 A B 看成 幾何 上 的 點， 則 B 向 A 加速運動 到達 A 時， 會 經過 A ， 繼續 前進 遠離 A， 而 經過 A 之后， 引力 方向 和 速度 方向 相反， 引力 開始 對 速度 減速， 當 速度 減 到 0 后， 引力 會 對 B 加速， 使 B 向 A 加速運動， 這就形成了 一個 周期性 的 運動， 類似 簡諧運動 。
但 其實 這樣說也存在問題， 幾何 上的 2 個 點 重疊 的 時候， 距離 為 0， 引力 無窮大， 在 B 靠近 A 時， 無窮大 的 引力 可以 把 B 的 速度 加速到 無窮大， 在 B 遠離 A 時， 無窮大 的 引力 可以 把 速度 減速 到 0， 這里說的 B 靠近 A 和 B 遠離 A 是指 趨勢， 因為 當 A B 重疊 時， 引力方向 變成了一個 點， 已經 不存在 了 。 所以 需要 從 B 無限接近 A 的 角度 來看， 當 A B 間 距離 無限小 時， 存在 B 靠近 A 或 B 遠離 A 。 這是一個 極限問題 。
實際中 用 計算機 程序 模擬 B 的 運動 時， 會用 一段 具體 的 時間 來 模擬 微分時間 dt， 這樣的話， 就 避免 了 理論 上 A B 距離 無限小 和 A B 重疊 的 問題， 這樣 可以 模擬 出 周期性 運動 的 效果， 類似 簡諧運動 。 還要 加上一點， 如果 A B 剛好 重疊， 則 不作處理， 不加速 B ， 也不減速 B 。
直線特例 用 一維坐標系 就可以 研究 。 設 A 為 坐標系 原點， AB 為 x 軸， AB 方向 為 x 軸 正方向 （遠離 A 的 方向 是 正方向） 。
直線特例 的 微分方程 是 ：
d²x / dt² = - G M m / x² / m
化簡 得 ：
d²x / dt² = - G M / x²
嚴格 的 說， 這是 B 在 正半軸 的 運動方程， 在 負半軸 的 運動方程 要 把 等號右邊 的 負號 去掉， 即 d²x / dt² = GM / x² 。
但是 我們 研究 正半軸 的 情形 就可以 。
解這個 微分方程 ：
兩邊同時乘以 2 * dx / dt ， 2 * dx / dt * d²x / dt² = - 2 * dx / dt * GM / x²
d (dx / dt)² / dt = - 2 G M * dx / dt / x²
兩邊對 dt 積分 ， (dx / dt)² = ∫ - 2 G M / x² dx
(dx / dt)² = - 2 G M ∫ 1 / x² dx
(dx / dt)² = - 2 G M ( -1 / x + C )
(dx / dt)² = 2 G M * 1 / x - 2 G M * C
令 dx / dt = V₀ ， x = X₀ ， 則 C = 1 / X₀ - V₀² / 2 G M ， V₀ 是 B 的 初始速度 ， X₀ 是 B 的 初始位置 。
代入 C ，
(dx / dt)² = 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² (1) 式
dx / dt = ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 (2) 式
1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 * dx = dt
兩邊積分 ，
∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 * dx = ∫ dt
∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 * dx = t
只要 把 ∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 * dx 這個 積分 求出來， 就可以 解 這個 方程 了 。
令 2 G M / X₀ - V₀² = a ， 2 G M = b ，
則 ∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 * dx = ∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx ， G 、M 、a 、b 為 常數 。
把 ∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx 求出來 就可以 ， G 、M 、a 、b 為 常數 。
但 ∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx 這個 積分 積了兩天 沒積出來， 不積了 。 大家有興趣可以試試 。
在 網上 搜索 看到一篇 《求根號下（1-x/x）的不定積分》 https://www.zybang.com/question/4104f5613cf5dd0cb4e817a8ab8a6670.html ， 可以參考 。
上面 這個 微分方程 的 解法 參考了 簡諧運動 的 微分方程 的 解法 。
雖然 沒有 完全 解出 這個 微分方程 ， 但根據 (2) 式 dx / dt = ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 可以 得出 逃逸 條件 ，
設 當 B 的 速度 v -> 0 時， B 的 位置 x -> 無窮 ，
則 dx / dt = v -> 0 ， 2 G M * 1 / x -> 0 ， 代入 (2) 式 得 ：
0 = - 2 G M / X₀ + V₀²
V₀² - 2 G M / X₀ = 0 (3) 式
根據 (3) 式 V₀² - 2 G M / X₀ = 0 可知， 當 V₀ = ( 2 G M / X₀ ) 開方 時， B 將 飛向 無限遠處， 當 B 飛向 無限遠處 時， 速度 趨於 0 。
當 V₀ > ( 2 G M / X₀ ) 開方 時 ， B 將 從 A 逃逸 。
這個 推論 可以 稱為 直線特例逃逸條件 。
上面 從 (1) 式 到 (2) 式 的 時候， (1) 式 等號右邊 開平方 只 取了 正根， 沒有 取 負根， 如果取 負根， 則 有
dx / dt = - ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 開方 (4) 式
(2) 式 和 (4) 式 的 區別 是 (4) 式 的 等號 右邊 多了一個 負號 。
我想 (4) 式 的 意義， 或者說 負根 的 意義 是 B 遠離 A 的 速度 衰減 為 0 之后， 在 引力 作用 下 向 A 加速運動 的 這一段 過程 。 dx / dt = v = 負根， 這表示 速度 v 是 負數， 速度 是 負數 表示 速度方向 是 正半軸 上 靠近 A 的 方向 。
所以， 在 正半軸 上， B 遠離 A 的 階段 用 (2) 式 的 積分 來 描述， B 靠近 A 的 階段 用 (4) 式 的 積分 來 描述， 是不是這樣 ？
2019 年 12 月 5 日 加 ：
上文的 積分 ∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx 已經 由 反相吧 網友 fz8zi8 求出， 見 我在 反相吧 里 發的 帖 《∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx 這個 積分 怎么求 ？》 http://tieba.baidu.com/p/6371150964 的 2 樓 3 樓 ，
∫ 1 / ( b / x - a ) 開方 * dx = 1/2*(-(-b+a*x)/x)^(1/2)*x*(-2*a^(1/2)*(-(-b+a*x)*x)^(1/2)+b*atan(1/2/a^(1/2)*(2*a*x-b)/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)))/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)/a^(3/2) ， 省略了 積分常數 C 。
根據 這個 積分 可以 求出 直線特例 的 微分方程 的 解， 這個 解 是 質點 B 的 位置 x 和 時間 t 的 函數， 記為 x = f(t) ， 根據這個 解 可以 求出 質點 B 在 時刻 t 的 位置 x 。
對 x = f(t) 求導， dx / dt = f ′ (t) 就是 質點 B 在 時刻 t 的 速度 v 。
也可以 根據 x = f(t) 求出 時刻 t 的 x， 把 x 代入 (2) 式 求出 dx / dt ，即 速度 v 。