網友 龍的傳人ojbk 在 反相吧 發了一個 帖 《大吊們，看看這題》 https://tieba.baidu.com/p/6929653360 ，
帖 里 列了 一個 題 ： “用 伽利略變換 和 能量守恆 推導 線性動量守恆定律 。”
我 嘗試 解答了一下 。
如圖， 有 2 個 小球， m1 和 m2 ， m1 質量 為 m1， m2 質量 為 m2 ， 初始時， m1 的 速度 是 V1₀， m2 的 速度 是 V2₀ ，
之后， m1 和 m2 之間 有 一個 力 F， 在 力 F 的 作用下 加速 運動， 經過 時間 t， m1 、m2 的 速度 為 v1 、v2 。
在 整個過程 中， F 的 大小 保持不變 。
根據 牛頓第三定律， m1 對 m2 施加 力 F， m2 也對 m1 施加 力 F， 反之亦然 。
初始時 m1 、m2 組成 的 系統 的 總動量 p = m1 * V1₀ - m2 * V2₀ ，
經過 時間 t 時， 根據 能量守恆， F 做 的 功 會 轉換為 m1 、m2 的 動能，
對於 小球 m1， 有
1/2 * m1 * v1 ² = 1/2 * m1 * V1₀ ² + Fs
s = V1₀ * t + 1/2 * a * t ²
= V1₀ * t + 1/2 * F / m1 * t ²
Fs = F * ( V1₀ * t + 1/2 * F / m1 * t ² )
= F * V1₀ * t + 1/2 * F ² * t ² / m1
於是，
1/2 * m1 * v1 ² = 1/2 * m1 * V1₀ ² + F * V1₀ * t + 1/2 * F ² * t ² / m1
1/2 * m1 * v1 ² = 1/2 * m1 * ( V1₀ ² + 2 * F * V1₀ * t / m1 + F ² * t ² / m1 ² )
1/2 * m1 * v1 ² = 1/2 * m1 * ( V1₀ + F * t / m1 ) ²
v1 = V1₀ + F * t / m1 (1) 式
同理可得， 對於 小球 m2， 有
v2 = V2₀ + F * t / m2 (2) 式
此時， 系統 總動量 p = m1 * v1 - m2 * v2 = m1 * V1₀ + m1 * F * t / m1 - ( m2 * V2₀ + m2 * F * t / m2 )
= m1 * V1₀ + F * t - m2 * V2₀ - F * t
= m1 * V1₀ - m2 * V2₀
可以看到， 經過 時間 t 時 的 系統總動量 和 初始時 一樣， 也就是 動量守恆 。
但 問題 是 這里 沒有 用到 伽利略變換， 看起來 也 不適合 用 伽利略變換 。 因為 動量守恆 是 對 慣性系 說 的， 如果 以 小球 m2 為 參照系， 則 m1 相對於 m2 的 速度 一直在 增大， 系統 的 總動量 也是 一直在 增大， 就不守恆了 。
有意思 的 是， 在 二體 問題 中， 可以用 約化質量 將 一個 質點 等效 為 慣性系， 這樣 可以用 牛頓第二定律 研究 另一個 質點 相對於 這個 質點 的 運動 。
因為 兩個 質點 相互吸引， 彼此加速， 彼此間 的 相對運動 不滿足 牛頓第二定律 。
因此 要用 約化質量 將 一個 質點 等效 為 慣性系， 才能 用 牛頓第二定律 研究 另一個 質點 相對於 這個 質點 的 相對運動 。
但 約化質量 這一招 對 動量守恆 無效 。 可以知道， 使用了 約化質量， 一個 質點 相對於 另一個 質點 的 動量 可大可小， 而 這也是 兩個質點 組成 的 系統 的 總動量 ， 也就是 系統 總動量 可大可小， 隨着 二體 的 運動 而 變化， 這就不守恆了 。
但 你 可以用 角動量守恆 。 啊， 這 。
上面 推導 出 (1) 式 (2) 式 是 在 F 的 大小 不變 的 情況 下 。 如果 F 的 大小 隨 時間 t 變化， 那么， 可以 將 (1) 式 (2) 式 看作 是 一個 微元 里 的 情形，
設 t1 、t2 是 2 個 時刻， t2 > t1 ， 在 t1 到 t2 這段時間 內 F 大小 恆定， 設 小球 m1 在 t1 時 的 速度 為 v11， 在 t2 時 的 速度 為 v12，
根據 (1) 式， 有
v12 = v11 + F * ( t2 - t1 ) / m1
v12 - v11 = v11 + F * ( t2 - t1 ) / m1 - v11
= F * ( t2 - t1 ) / m1
= F / m1 * ( t2 - t1 )
令 v12 - v11 = ⊿ v1 ， t2 - t1 = ⊿ t
⊿ v1 = F / m1 * ⊿ t
令 ⊿ t -> 0 ， 則 ⊿ t = dt， ⊿ v1 = d ( v1 ) ，
d ( v1 ) = F / m1 * dt (3) 式
當 ⊿ t -> 0 時， ⊿ t 就變成 微分 dt， ⊿ t 內 的 事件 就 變成 微元 ， (3) 式 就表示 這個 微元 ， 也就是 微分時間 dt 內 發生 的 事件 。
對 (3) 式 兩邊積分 ，
ʃ d ( v1 ) = ʃ F / m1 * dt
ʃ d ( v1 ) = 1 / m1 * ʃ F dt
v1 = 1 / m1 * ʃ F dt , [ 0, t ] + C ， C 為 積分常數 (4) 式
為了 確定 積分常數 C， 把 ʃ F dt 變成了 定積分， ʃ F dt , [ 0, t ] 表示 積分區間 [ 0, t ] 上 的 定積分 。
當 t = 0 時， v1 = V1₀ ， ʃ F dt , [ 0, t ] = ʃ F dt , [ 0, 0 ] = 0 ， 代入 (4) 式，
V1₀ = 1 / m1 * 0 + C
V1₀ = 0 + C
C = V1₀
將 C 代回 (4) 式，
v1 = 1 / m1 * ʃ F dt , [ 0, t ] + V1₀
v1 = V1₀ + 1 / m1 * ʃ F dt , [ 0, t ] (5) 式
同理可得， 對於 小球 m2， 有
v2 = V2₀ + 1 / m2 * ʃ F dt , [ 0, t ] (6) 式
這樣， 當 經過 時間 t 時， 系統總動量 p = m1 * v1 - m2 * v2
= m1 * { V1₀ + 1 / m1 * ʃ F dt , [ 0, t ] } - m2 * { V2₀ + 1 / m2 * ʃ F dt , [ 0, t ] }
= m1 * V1₀ + m1 * 1 / m1 * ʃ F dt , [ 0, t ] - m2 * V2₀ - m2 * 1 / m2 * ʃ F dt , [ 0, t ]
= m1 * V1₀ + ʃ F dt , [ 0, t ] - m2 * V2₀ - ʃ F dt , [ 0, t ]
= m1 * V1₀ - m2 * V2₀
可以看到， 經過 時間 t 時 的 系統總動量 和 初始時 一樣， 也就是 動量守恆 。
這是 在 F 的 大小 隨 時間 t 變化 的 情況 下 的 推導結果， 也就是說， 當 F 的 大小 隨 t 變化 時， 動量守恆 仍然 成立 。
接着 上面 分析， 二體， 角動量守恆 則 動量不守恆， 動量守恆 則 角動量不守恆 。 這里面 似乎 也 暗藏了 什么 玄機 ？
想了一下， 這是不是說， 可以用 動量守恆 來 解 二體問題 ？
角動量守恆 解 的 是 一個 質點 相對於 另一個 質點 的 運動， 動量守恆 可以用來 解 2 個 質點 相對於 第三方 參照系 的 運動， 第三方參照系 是 慣性系 。
在 直角坐標系 下， 可以將 m1 、m2 的 速度 分為 x 、y 分量， 同樣 的， 動量 也可以 分為 x 、y 分量， x 方向 上 的 動量守恆， y 方向上 的 動量守恆 。
設 m1 的 坐標 是 ( x1, y1 ) ， m2 的 坐標 是 ( x2, y2 ) ， m1 的 速度 的 x 分量 為 v1_x ， y 分量 為 v1_y ， m2 的 速度 的 x 分量 為 v2_x ， y 分量 為 v2_y ，
初始時， t = 0 ， v1_x = V1₀_x ， v1_y = V1₀_y ， v2_x = V2₀_x ， v2_y = V2₀_y ，
x 方向 的 總動量 p_x = m1 * V1₀_x + m2 * V2₀_x
y 方向 的 總動量 p_y = m1 * V1₀_y + m2 * V2₀_y
根據 動量守恆，
m1 * v1_x + m2 * v2_x = p_x
m1 * v1_y + m2 * v2_y = p_y
v2_x = ( p_x - m1 * v1_x ) / m2 (7) 式
v2_y = ( p_y - m1 * v1_y ) / m2 (8) 式
(7) 式 兩邊 對 dt 積分，
ʃ v2_x dt = ʃ ( p_x - m1 * v1_x ) / m2 dt
x2 = ʃ p_x / m2 dt - ʃ m1 / m2 * v1_x dt
x2 = p_x / m2 * t - m1 / m2 * ʃ v1_x dt
x2 = p_x / m2 * t - m1 / m2 * x1 + C ， C 為 積分常數 (9) 式
設 m1 的 初始位置 為 ( X1₀, Y1₀ ) ， m2 的 初始位置 為 ( X2₀, Y2₀ ) ， 初始時 t = 0 ， 代入 (9) 式 ，
X2₀ = p_x / m2 * 0 - m1 / m2 * X1₀ + C
X2₀ = 0 - m1 / m2 * X1₀ + C
C = X2₀ + m1 / m2 * X1₀
將 C 代回 (9) 式，
x2 = p_x / m2 * t - m1 / m2 * x1 + X2₀ + m1 / m2 * X1₀ (10) 式
同理， (8) 式 兩邊 對 dt 積分 可得
y2 = p_x / m2 * t - m1 / m2 * y1 + Y2₀ + m1 / m2 * Y1₀ (11) 式
列 m1 的 微分方程 ，
d ² x1 / dt ² = G * m2 / [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] * [ x2 - x1 ] / 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] (12) 式
d ² y1 / dt ² = G * m2 / [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] * [ y2 - y1 ] / 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] (13) 式
本來 還要 列 m2 的 2 個 微分方程， 類似 (12) 式 (13) 式 ， 這樣 4 個 方程 組成 方程組，
但 現在 根據 (10) 式 知道 x2 和 x1 的 關系， 根據 (11) 式 知道 y2 和 y1 的 關系， 只要 把 (10) 式 (11) 式 代入 (12) 式 (13) 式 就不用 列 m2 的 2 個 微分方程 了，
這樣， 就 只要 2 個 微分方程 組成 方程組， 這也是 一種 簡化 吧 。
也就是， 只要 m1 的 2 個 微分方程 (12) 式 (13) 式 作為 方程組 就可以， 當然， 要 代入 (10) 式 (11) 式 。
(10) 式 (11) 式 里 含有 t， 代入 (12) 式 (13) 式 后， (12) 式 (13) 式 又變得 復雜 了 一點 。
當然， (12) 式 (13) 式 這 2 個 方程 的 方程組 直接解 應該 也是 解不出來 的， 但 可以 來點 級數 、線性方程組 、隱函數 求導 什么的 來 表示一下， 線性一下， 逼近一下 。