以下均為10年前討論的一些內容，或者更早一些。
問題1.考慮調和函數 $-\Delta u=0\ \ \mbox{in}\ \ R^n$, $n\geq2$, 且$u(x)\geq -(1+|x|)^{\alpha}$ in $R^n$, 其中$\alpha\in(0,1)$, 證明: $u$必為常數。
證明:(1) 考慮直接對$u-\inf\limits_{B_{2R}}u$在$B_R$上使用Harnack 不等式，則
$$\sup_{B_{R}}u-\inf_{B_{2R}}u\leq C(u(0)-\inf_{B_{2R}}u).$$
那么
$$\sup_{B_{R}}u\leq C|u(0)|+(1-C)\inf_{B_{2R}}u\leq C|u(0)|+(C-1)(1+2R)^{\alpha},$$
這樣就有
$$\sup_{B_{R}}|u|\leq C|u(0)|+C(1+2R)^{\alpha}$$
最后用調和函數的梯度內估計就可以得到結論了。
(2)第二種方法是利用平均值公式推導梯度估計的方法，並結合積分中值定理即可知道$\nabla u \equiv 0$. 具體細節見 Oleinik的《偏微分方程講義》，當然本問題還可以推廣控制的階數。
(3) 受極小曲面的BDG估計的啟發(因為對於極小曲面方程可以提相同的問題，見E.Guisti的book)，調和函數也可以有類似的梯度估計(見林芳華，韓青的橢圓方程講義的第一章Lemma1.11, 考慮 $u(x)-\inf_{B_r(x_0)} u$, 即先用平均值公式，再用散度定理，最后用平均值公式)，即 對任意的$x_0\in R^n$, $r>0$, 可以做估計：
$$|\nabla u(x_0)| \leq \frac{C(n)}{r} (u(x_0)-\inf_{\partial B_r(x_0)} u) , $$
這樣問題也類似的迎刃而解。
問題2.考慮二維情形的 全平面 下調和函數 上有界，則必為常數。具體如下:
$$u\in C^2(R^2),\ \ \ -\Delta u\leq0\ \ in \ \ R^2, \sup\limits_{R^2}u=0, \ \ then\ \ u\equiv 0. $$
證明: 第一種情形：如果$u(0)=0$, 由強極值原理可知結論成立。
第二種情形：如果$u(0)=-m<0$，以下證明 這不可能發生。
由連續性可知，存在$\delta>0$使得， $\forall\ |x|\leq \delta,\ \ u(x)\leq -\frac{m}{2}<0$, 然后在外部考慮使用基本解構造的閘函數。 對任意的$\epsilon>0$, 取
$$v_{\epsilon}(x)=-\frac{m}{2}+\epsilon \ln(\frac{|x|}{\delta}),$$
由比較定理容易知道 $u\leq v_{\epsilon}$ in $\{x\in R^2:|x|>\delta\}.$
最后令 $\epsilon\rightarrow0+$可知，
$$u\leq -\frac{m}{2} \mbox{ in} \{x:|x|>\delta\}.$$
這樣就會有 $u\leq -\frac{m}{2}$ in $R^2$, 這與假設$\sup\limits_{R^2} u=0$相矛盾。Q.E.D.
問題3. 考慮調和函數 $-\Delta u=0\ \ \in\ \ R^n$, $n\geq2$, 且$u(x)\in L^p(R^n)$, $p>0$，則$u\equiv 0$.
證明: $p\geq 1$時，只需要用均值公式和Holder不等式，至於其他情形可考慮內插或者直接使用Moser迭代的局部極值原理。 Q.E.D.
問題4. 關於有界調和的可去奇性的問題。引入Capacity來描述，並利用Haussdorff測度來直觀判定。
問題5. 關於有界調和的孤立點奇性的Bocher定理。
問題4、5是值得深究的，它們可以推廣到其他橢圓、拋物方程上去。