有向圖，競賽圖和強競賽圖的一些性質
定義
定義弱連通（有向）圖為將所有邊替換為無向邊（稱之為基圖）之后連通的有向圖。
定義半連通圖為對於任意節點\(u,v\)，存在路徑\(u\rightarrow v\)或\(v\rightarrow u\)。
定義強連通圖為對於任意節點\(u,v\)，存在路徑\(u\rightarrow v\)與\(v\rightarrow u\)。
定義競賽圖是一種有向簡單圖，每對頂點\(u,v\)存在邊\((u,v)\)或\((v,u)\)，名稱來源於體育錦標賽，將邊從勝者連向敗者(?)。
定義強競賽圖是強連通的競賽圖。
定義圖的歐拉路徑是經過圖中所有邊恰一次的路徑。
定義圖的歐拉回路是首尾相連的歐拉路徑。
定義圖的\(\text{Hamiliton Walk}\)為經過圖中所有節點的一條路徑（注意不一定經過所有邊），為方便下文稱之為哈密頓遍歷。（注意：這不是正式翻譯）
定義一條\(\text{Hamiliton Walk}\)路徑\(\text P\)的長度為其經過節點的數量，其中經過多次算相應次數，記作\(\text{Length(P)}\).
我們稱從\(u\)開始，結束在\(v\)的一條哈密頓遍歷為\(u-v\)哈密頓遍歷。
定義閉合\((\text {Closed})\)\(\text{Hamiliton Walk}\)為首尾相連的\(\text{Hamiliton Walk}\)，即\(u-u\)哈密頓遍歷，這里稱作哈密頓圈。
定義\(\text{Hamiliton Path}\)為長度等於圖點數\(n\)的哈密頓遍歷，一般翻譯為哈密頓路徑。
定義\(\text{Hamiliton Circuit}\)為長度等於\(n\)的閉合哈密頓圈，一般翻譯為哈密頓回路。
定理
定理1
一個有向圖是強連通的當且僅當其存在閉合哈密頓遍歷。
證明：
必要性顯然，下證充分性。
考慮一個強連通的有向圖必然存在\(1\rightarrow 2,2\rightarrow 3,\ldots,n-1\rightarrow n,n\rightarrow 1\)的路徑，連起來即成為一個閉合哈密頓遍歷，證畢。
定理2
一個非平凡有向強連通圖\(\text G\)存在歐拉回路當且僅當每個點的入度等於出度。
證明：
充分性顯然，下證必要性。
考慮數學歸納法。
\(n=1\)顯然成立。
考慮\(n\leq k\)時成立，下證\(n=k+1\)時成立。
因為\(\text G\)強連通，所以其必定存在一個環。
我們刪去這個環，圖將變為若干個連通塊，對於每個連通塊內部，每個點的入度和出度相等。
於是我們用這個環和每個連通塊內部的歐拉回路相連即可得到新的歐拉回路。
定理3
一個非平凡連通圖\(\text G\)存在強定向（即定向每條無向邊使得得到的有向圖強連通）當且僅當\(\text G\)是雙連通的。
證明：
充分性：如果圖不是雙連通的，則切斷橋之后的兩個連通塊不可能定向后強連通。
必要性：考慮\(\text {tarjan}\)算法的過程，我們定樹邊向下，定非樹邊向上即可。
定理4
定義一個競賽圖\(\text G\)是中轉的當且僅當對於\(u,v,w\in V(G)\)若存在\((u,v)，(v,w)\)則存在\((u,w)\)
競賽圖是中轉的當且僅當競賽圖中不存在環。
證明：
充分性：如果競賽圖中存在環，任取環上兩個相鄰的端點\(u,v\),假設存在環邊\((u,v)\),根據中轉的性質我們知道必然存在\((v,u)\)，矛盾。
必要性：假設競賽圖\(\text G\)中不存在環，假設\(\text G\)包含邊\((u,v),(v,w)\)因為不存在環，所以不存在\((w,u)\)，有競賽圖的性質我們知道必然存在\((u,w)\)。
可以感性理解，一個競賽圖如果是中轉的，那么如果\(u\)能打敗\(v\),\(v\)能打敗\(w\),就有\(u\)能打敗\(w\),這證明了每個人的實力值是絕對的，我們可以根據兩個人的實力值判斷勝負。
存在一個環就會導致一個人的實力值小於自己的實力值，矛盾。
定理5
如果\(u\)是競賽圖\(\text {G}\)中出度最大的節點，那么它和所有節點的距離不超過\(2\).
證明：
假設存在點\(w\)使得\(dis(u,w)\ge 3\),考慮\(u\)與所有和\(u\)距離為\(1\)的節點(即與\(u\)距離不超過\(1\)的節點)構成一個集合\(\text S_1\)，顯然不存在\(\text S_1\)向\(w\)的邊。
那么必然存在\(w\)向\(\text S_1\)集合每個點的邊，那么\(w\)的出度就是\(u\)的出度+1,矛盾。
定理6
所有競賽圖\(\text G\)包含一條哈密頓路徑。
證明:
對於\(n=1,2\)顯然成立。
當\(n\geq3\)時，假設命題已經對於\(n-1\)成立。
考慮任意\(v\in V(G)\),刪去\(v\)則得到一個大小為\(n-1\)的圖。
那么這個圖中必定包含一個\(a-b\)哈密頓路徑。
如果存在\((v,a)\)或\((b,v)\)我們已經得到了新的哈密頓路徑。
否則，必然存在\((a,v)\)與\((v,b)\)。
定義進入\(v\)的邊是\(1\)類邊，離開\(v\)的邊是\(2\)類邊。
根據競賽圖的性質我們知道，在\(a-b\)哈密頓路徑上的所有點都存在和\(a\)之間的\(1\)類邊或\(2\)類邊。
這組成了一個長為\(n-1\)的序列\(c_i\)，形如
\(1,\ldots,2\)。
顯然其中必然存在相鄰的\(1,2\)。
那么我們令\(c_{a'}=1,c_{b'}=2\),那么我們從中斷開這條哈密頓路徑，並連接\((a',v)\),\((v,b')\)即可得到一條新的哈密頓路徑。
定理7
對於所有非平凡（即頂點數\(\geq3\)）的強競賽圖\(\text G\)，對於\(\forall v\in V(G)\),\(v\)屬於某一個三角形。
證明：
考慮連接\(v\)的所有點的集合\(\text{in(v)}\),\(v\)連接的所有點\(\text {Out(v)}\),
因為\(\text G\)是強競賽圖，所以\(\text{in(v),out(v)}\neq\emptyset\),並且\({v}\cup\text {in(v)}\cup\text{out(v)}=V(G)\)。
假設\(v\)不屬於任意一個三角形，
那么\(\text{out(v)}\)中不存在向\(\text{in(v)}\)的邊,那么\(\text{out(v)}\)中的點均不能到達\(\text{in(v)}\)，矛盾。
定理8
定義任何一個有向圖是泛圈的當且僅當對任意頂點\(v\),圖中存在長度為\(3,4,\ldots,n\)且包含\(v\)的環。
\(\large\text{Moon theorem}\):
任何一個非平凡強競賽圖是泛圈的。
證明：
由定理7，對環長度歸納即可。
定理9
任何競賽圖包含一個哈密頓回路當且僅當它是強連通的。
證明：
充分性顯然
必要性由\(\text{Moon theorem}\)直接得到。