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定義
競賽圖 : \(\binom n 2\) 條邊的有向圖 (完全圖)
定理 1
競賽圖強連通縮點后的DAG呈鏈狀, 前面的所有點向后面的所有點連邊
證明 : 考慮歸納, 逐連通塊加入
目前有一條鏈, 插入一個新連通塊x
如果x連向所有點, 放在鏈頭
如果所有點連向x, 放在鏈尾
否則x的出邊一定都在x的入邊的后邊 (否則成環)
找到分界點, 把x插在中間即可
定理 2
競賽圖的強連通塊 存在一條哈密頓回路
證明 : 考慮歸納, 逐點加入
目前有一條鏈, 鏈上的每個強連通塊都存在哈密頓回路
插入一個新點x, 只需證明新圖中的強連通塊都存在哈密頓回路即可
如果不產生新連通塊, 就是定理 1 中討論的情況, 否則一定存在一條x的出邊在x入邊左邊, 隨便找一對
如果是連到不同連通塊, 見左圖.
如果是同一連通塊, 必定存在符合環的走向的相鄰的一入一出, 見右圖.
定理 3
競賽圖存在一條 哈密頓路徑
證明 : 如圖示方法構造
引理
競賽圖里, 大小為 \(n>1\) 的強連通塊中, 大小為 \([3, n]\) 的簡單環均存在
證明 :
n=3成立, n$\ge$4時只需證明存在大小為 \(n-1\) 的就好了
考慮從原圖中提出一個點, 剩下的圖是一條鏈, 提出來的點有出邊指向鏈頭, 有來自鏈尾的入邊.
如果剩下的圖只有一個強連通塊, 那么大小為 \(n-1\) 的環已經存在了.
只需考慮至少兩個強連通塊的情況, 如圖示方法構造
(在定理3構造的哈密頓路徑中, 是一段環邊一條鏈邊這樣走的, 將一段環邊的起點/終點刪掉.)
定理4
競賽圖判定定理 Landau's Theorem:
令\(s_i\)為第\(i\)個點的出度 (競賽中獲勝的積分)
對\(s\)排好序后, 若滿足 \(\sum_{i=1}^k s_i\ge \binom k 2 且 \sum s = \binom n 2\) , 定能構造出一種競賽圖, 反之不能
構造初始圖:每個點向前面的所有點連邊, 設此時得分序列為 \(a\), 這個序列在上述條件中取到等號
保持\(\sum_{i=1}^k a_i \le \sum_{i=1}^k s_i\), 並不斷調整圖, 直到 \(a=s\)
未構造完成時, 開頭必然是一段等於后面接着一個 \(a_l\lt s_l\)
為了使按照后面的方法修改后的 \(u\) 仍有序, 我們找到最后一個 \(a_l=a_u\) 的 \(u\), 顯然仍有 \(a_u\lt s_u\)
因為總和固定, 必能在 \(u\) 后面找到 \(a_v\gt s_v\), 找到第一個 \(v\)
此時 \(a_u\lt s_u\le s_v\lt a_v\) , 即 \(a_v\ge a_u+2\)
當存在 \(\exists v\to u\) 時, 直接翻轉這條邊
否則必然存在點 \(p\), 使得 \(\exists v\to p,p\to u\), 將這條路徑翻轉
因為 \(a_u\lt s_u\), \(a_i\le s_i, \forall i \in (u,v)\), 不難證明修改后的序列仍然保持性質(任意a的前綴和都<=s的)
這樣構造下去一定有解