已知直線\(y=kx\)與雙曲線\(C:\; \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)相交於不同的兩點\(A,B,\;\;F\)為雙曲線\(C\)的左焦點\(,\;\)且滿足\(|AF|=3|BF|,|OA|=b(O\)為坐標原點\(),\;\)則雙曲線\(C\)的離心率為\(\underline{\qquad\qquad}.\)
法一\(:\;\)在\(Rt\triangle ABF_2\)中，$ \Rightarrow (2b)2+a2=(3a)^2\Rightarrow \cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}$
法二\(:\;\)
\(AF_2=ex_A-a=a\Rightarrow x_A=\frac{2a^2}{c}\)
由\(Rt\triangle OF_2A\Rightarrow y_A=\frac{ab}{c}\)
由點\(A\)在雙曲線\(C\)上\(\Rightarrow\cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}\)
法三\(:\;\)
記\(\angle AF_2 x=\theta\)，則\(|AF_2|=a=\frac{e\cdot \frac{b^2}{c}}{1-e\cos\theta}\Rightarrow \cos\theta=\frac{a^2-b^2}{ac}\)
在\(Rt\triangle OF_2A\)中，\(\sin(\pi-\theta)=\frac{b}{c}\Rightarrow\cdots \Rightarrow c^2=3a^2 \; or\; c^2=a^2\Rightarrow e=\sqrt{3}\)
法四\(:\;\)中線定理
在\(\triangle AFF_2\)中，\(|AF|^2+|AF_2|^2=\frac{1}{2}|FF_2|^2+2|AO|^2\Rightarrow\cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}\)
其中方法二和方法三使用的二手結論均來自
圓錐曲線的第二定義。
若將$|AO|=b\;$改為$|AO|=a\;\; or\;c\; or \;2a\;or\; \frac{c}{2}\cdots$，顯然方法一就不再那么簡潔了， 法二和法三的計算量又會增加， 只有法四“巋然不動”！
法四中的中線定理是更一般形式的特殊情況，感興趣的同學可以下來推推這個結論