已知直线\(y=kx\)与双曲线\(C:\; \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)相交于不同的两点\(A,B,\;\;F\)为双曲线\(C\)的左焦点\(,\;\)且满足\(|AF|=3|BF|,|OA|=b(O\)为坐标原点\(),\;\)则双曲线\(C\)的离心率为\(\underline{\qquad\qquad}.\)
法一\(:\;\)在\(Rt\triangle ABF_2\)中，$ \Rightarrow (2b)2+a2=(3a)^2\Rightarrow \cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}$
法二\(:\;\)
\(AF_2=ex_A-a=a\Rightarrow x_A=\frac{2a^2}{c}\)
由\(Rt\triangle OF_2A\Rightarrow y_A=\frac{ab}{c}\)
由点\(A\)在双曲线\(C\)上\(\Rightarrow\cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}\)
法三\(:\;\)
记\(\angle AF_2 x=\theta\)，则\(|AF_2|=a=\frac{e\cdot \frac{b^2}{c}}{1-e\cos\theta}\Rightarrow \cos\theta=\frac{a^2-b^2}{ac}\)
在\(Rt\triangle OF_2A\)中，\(\sin(\pi-\theta)=\frac{b}{c}\Rightarrow\cdots \Rightarrow c^2=3a^2 \; or\; c^2=a^2\Rightarrow e=\sqrt{3}\)
法四\(:\;\)中线定理
在\(\triangle AFF_2\)中，\(|AF|^2+|AF_2|^2=\frac{1}{2}|FF_2|^2+2|AO|^2\Rightarrow\cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}\)
其中方法二和方法三使用的二手结论均来自
圆锥曲线的第二定义。
若将$|AO|=b\;$改为$|AO|=a\;\; or\;c\; or \;2a\;or\; \frac{c}{2}\cdots$，显然方法一就不再那么简洁了， 法二和法三的计算量又会增加， 只有法四“岿然不动”！
法四中的中线定理是更一般形式的特殊情况，感兴趣的同学可以下来推推这个结论