分解質因數題目

以sqrt(n)​ 為時間復雜度的算法並不多見，最具代表性的就是分解質因數了。

 

235. 分解質因數

 

中文

 

English

 

將一個整數分解為若干質因數之乘積。

 

樣例

樣例 1：

輸入：10
輸出：[2, 5]

樣例 2：

輸入：660
輸出：[2, 2, 3, 5, 11]

 

注意事項

你需要從小到大排列質因子。

class Solution:
    """
    @param num: An integer
    @return: an integer array
    """
    def primeFactorization(self, num):
        # write your code here
        result = []
        k = 2
        while k*k <= num:
            if num % k == 0:
                num = num//k
                result.append(k)
            else:
                k += 1
        if num > 1:
            result.append(num)
        return result

 

 

題目描述

http://www.lintcode.com/problem/prime-factorization/

具體步驟

1. 記up=[n]up = [\sqrt{n}]up=[n

1. ​]，作為質因數k的上界, 初始化k=2k=2k=2。
2. 當k<=upk <= upk<=up 且 n不為1 時，執行步驟3，否則執行步驟4。
3. 當n被k整除時，不斷整除並覆蓋n，同時結果中記錄k，直到n不能整出k為止。之后k自增，執行步驟2。
4. 當n不為1時，把n也加入結果當中，算法結束。

幾點解釋

• 不需要判定k是否為質數，如果k不為質數，且能整出n時，n早被k的因數所除。故能整除n的k必是質數。
• 為何引入up？為了優化性能。當k大於up時，k已不可能整除n，除非k是n自身。也即為何步驟4判斷n是否為1，n不為1時必是比up大的質數。
• 步驟2中，也判定n是否為1，這也是為了性能，當n已為1時，可早停。

代碼

Java:

public List<Integer> primeFactorization(int n) { List<Integer> result = new ArrayList<>(); int up = (int) Math.sqrt(n); for (int k = 2; k <= up && n > 1; ++k) { while (n % k == 0) { n /= k; result.add(k); } } if (n > 1) { result.add(n); } return result; } 

Python:

def primeFactorization(n): result = [] up = int(math.sqrt(n)); k = 2 while k <= up and n > 1: while n % k == 0: n //= k result.append(k) k += 1 if n > 1: result.append(n) return result 

C++:

vector<int> primeFactorization(int n) { vector<int> result; int up = (int)sqrt(n); for (int k = 2; k <= up && n > 1; ++k) { while (n % k == 0) { n /= k; result.push_back(k); } } if (n > 1) { result.push_back(n); } return result; } 

復雜度分析

• 最壞時間復雜度 O(n)O(\sqrt{n})O(n

• ​)。當n為質數時，取到其最壞時間復雜度。
• 空間復雜度 O(log(n))O(log(n))O(log(n))，當n質因數很多時，需要空間大，但總不會多於O(log(n))O(log(n))O(log(n))個。

延伸

質因數分解有一種更快的算法，叫做Pollard Rho快速因數分解。該算法時間復雜度為O(n1/4)O(n^{1/4})O(n1/4)，其理解起來稍有難度，有興趣的同學可以進行自學，參考鏈接。