分解質因數

• 求卡特蘭數 (其實就是組合數)
• 大組合數且模數非素數，無法求逆元
• 高精組合數，如果你不想打高精除的話（沒人想打）

方法：

1

以求高精組合數為例

一般地，對於$n m \leq 10^6$ 可以打素數表，然后在mark i*prime[j]時附上標記prime[j]  其實就是i*prime[j] 的最小質因數，這樣可以在分解時將復雜度控制在$O(logn)$以下。

void get_prime()
{
    F(i,2,n)
    {
        if(!mark[i])
        {
            prime[++pc]=i;
            mark[i]=i;
        }
        F(j,1,pc)
        {
            if(i*prime[j]>n) break;
            mark[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

while(x!=1)
{
    ++pz[mark[x]];
    x/=mark[x];
}

同理對分母分解，然后我們只要--pz[]就可以了（組合數是整數，所以我們可以預見分母會被約掉）。

F(i,2,n) while(pz[i]--) dcheng(a,i);

實際上pz[]有很多下標是無用的，我們可以讓mark[]存素數的標號（即在prime[]中的下標）。這樣在n m很大時可以減少上面代碼的循環次數。

 

 

2

以下不是求組合數而單論分解。設x為要分解的數

對於x很大(1e9)，我們可以用試除法。

枚舉$1~\sqrt{x}$ 對於一個枚舉到的i，除到不能整除為止，記錄因數，顯然這樣得到的因數都是素數。

枚舉完后，若x!=1 則將x加入質因子中。

這樣做的正確性：反證法：假設有兩個>sqrt(x)的質因數，那么將它們相乘會>x，與命題矛盾，得證。

然后我們就可以在$O(\sqrt{x})$下沒有多開一個數組而愉快地解決了問題。

 

總結

兩種算法比較：

1.對於要頻繁分解質因數的情況，第一種更優。只要$O(n)$線性篩一遍，然后單次分解$O(logn)$。所以當估計操作數達到$O(\sqrt(n))$直接第一種

2.對於x很大，或分解次數很少的情況，第二種更優。