C++動態規划實現查找最長公共子序列

問題描述：

給定兩個序列X={x₁，x₂，…，x_m}和Y={y₁，y₂，…，y_n}，找出X和Y的最長公共子序列。（給定兩個序列X和Y，當另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列時，稱Z是序列X和Y的公共子序列。）

細節須知（與之前隨筆的對比）：

將由數組存儲起來一並輸出至文件修改為邊運行邊輸出，增加了程序的魯棒性。

算法原理：

a.最長公共子序列的結構

對X的所有子序列，檢查它是否也是Y的子序列，從而確定它是否為X和Y的公共子序列。並且在檢查過程中記錄最長的公共子序列。X的所有子序列都檢查過后即可求出X和Y的最長公共子序列。X的每個子序列相應於下標集{1,2，…，m}的一個子集。

b.子問題的遞歸結構

要找出X和Y的最長公共子序列，可按以下方式遞歸計算：當x_m=y_n時，找出X_m-1和Y_n-1的最長公共子序列，然后在其尾部加上x_m（=y_n）即可得到X和Y的最長公共子序列。當x_m≠y_n時，必須解兩個子問題，即找出X_m-1和Y的一個最長公共子序列及X和Y_n-1的一個最長公共子序列。這兩個公共子序列中較長者即為X和Y的最長公共子序列。

c.計算最優值

利用動態規划算法自底向上地計算最優值。

d.構造最長公共子序列

首先從b[m][n]開始，依其值在數組b中搜索。當b[i][j]=1時，表示X_i和Y_j的最長公共子序列

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<windows.h>
using namespace std;
LARGE_INTEGER nFreq;//LARGE_INTEGER在64位系統中是LONGLONG，在32位系統中是高低兩個32位的LONG，在windows.h中通過預編譯宏作定義
LARGE_INTEGER nBeginTime;//記錄開始時的計數器的值
LARGE_INTEGER nEndTime;//記錄停止時的計數器的值
#define N 10000
//const int SIZE_CHAR = 10000; //生成32 + 1位C Style字符串
const char CCH[] = "_0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ_";
int dp[N][N];
char c;
int main(void)
{
    //char a[N];
    //char b[N];
    //char a[SIZE_CHAR+2];
    //char b[SIZE_CHAR+2];
    ofstream fout;
    int m = 0,i = 0;
    int SIZE_CHAR;
    cout<<"Please enter the number of times you want to run the program:";        //輸入程序運行次數
    cin>>m;
    //int SIZE[m];
    double cost;
    //double runtime[m];
    srand((unsigned)time(NULL));
    fout.open("data.txt",ios::app);
    if(!fout){
        cerr<<"Can not open file 'data.txt' "<<endl;
        return -1;
    }
    fout.setf(ios_base::fixed,ios_base::floatfield);   //防止輸出的數字使用科學計數法
    for(i = 0; i < m; i++){
        //SIZE_CHAR=10000+RAND_MAX*(rand()%300)+rand();           //RAND_MAX=32767,隨機生成數據量
        SIZE_CHAR = rand() % 10000;
        fout<<SIZE_CHAR<<",";
        // SIZE[i]=SIZE_CHAR;                                      //限定數據規模為10000~9872867
        char a[SIZE_CHAR + 1] = {'\0'};
        char b[SIZE_CHAR + 1] = {'\0'};
        cout<<"☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆The "<<i+1<<"th test's string size is:"<<SIZE_CHAR<<"☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆"<<endl;
        for (int i = 0; i < SIZE_CHAR; ++i){
            int x = rand() / (RAND_MAX / (sizeof(CCH) - 1));
            a[i] = CCH[x];
        }
        cout<<"The first random sting is:" <<a <<endl;
        for (int i = 0; i < SIZE_CHAR; ++i){
            int x = rand() / (RAND_MAX / (sizeof(CCH) - 1));
            b[i] = CCH[x];
        }
        cout<<"The second random string is:" <<b <<endl;
        cout<<"The longest common subsequence is:";
        QueryPerformanceFrequency(&nFreq);//獲取系統時鍾頻率
        QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);//獲取開始時刻計數值
        int la=strlen(a);
        int lb=strlen(b);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=la; i++){
            for(int j=1; j<=lb; j++){
                if(a[i-1]==b[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        int i=la,j=lb;
        stack<char>s;
        while(dp[i][j]){
            if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){//來自於左方向
                i--;
            }
            else if(dp[i][j]==dp[i][j-1]){//來自於上方向
                j--;
            }
            else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1]){//來自於左上方向
                i--;
                j--;
                s.push(a[i]);         //壓棧以便倒序輸出
        }
    }
    while(!s.empty())
    {
        c=s.top();
        printf("%c",c);
        s.pop();
    }
    cout<<endl;
    QueryPerformanceCounter(&nEndTime);//獲取停止時刻計數值
    cost=(double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / (double)nFreq.QuadPart;
    fout<<cost<<endl;
    //runtime[i]=cost;
    cout<<"The running time is："<<cost<<" s"<<endl;
    }
    fout.close();
    cout<<"Success!"<<endl;
    return 0;
}

程序設計思路：

設序列X={x₁，x₂，…，x_m}和Y={y₁，y₂，…，y_n}的最長公共子序列為Z={z₁，z₂，…，z_k}，則

a.若x_m=y_n，則z_k=x_m=y_n，且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最長公共子序列。

b.若x_m≠y_n，且z_k≠x_m，則Z是X_m-1和Y的最長公共子序列。

c.若x_m≠y_n，且z_k≠y_n，則Z是X和Y_n-1的最長公共子序列。

其中，X_m-1={x₁，x₂，…，x_m-1}；Y_m-1={y₁，y₂，…，y_n-1}；Z_k-1={z₁，z₂，…，z_k-1}。

② 子問題的遞歸結構

首先建立子問題最優值的遞歸關系。用c[i][j]記錄序列X_i和Y_j的最長公共子序列的長度。其中，X={x₁，x₂，…，x_m}；Y={y₁，y₂，…，y_n}。當i=0或j=0時，空序列是X_i和Y_j的最長公共子序列，故此時c[i][j]=0。在其他情況下，由最優子結構性質課件里遞歸關系如下：

③計算最優值

以序列X和Y作為輸入。輸出兩個數組c和b。其中c[i][j]存儲X_i和Y_j的最長公共子序列的長度，b[i][j]記錄c[i][j]的值是由哪一個子問題的解得到的，這在構造最長公共子序列時要用到。問題的最優值，即X和Y的最長公共子序列的長度記錄與c[m][n]中。

④構造最長公共子序列

首先從b[m][n]開始，依其值在數組b中搜索。當b[i][j]=1時，表示X_i和Y_j的最長公共子序列是由X_i-1和Y_j-1的最長公共子序列在尾部加上x_i所得到的子序列；當b[i][j]=2時，表示X_i和Y_j的最長公共子序列與X_i-1和Y_j的最長公共子序列相同；當b[i][j]=3時，表示X_i和Y_j的最長公共子序列與X_i和Y_j-1的最長公共子序列相同。

時間復雜性分析：

a.計算最優值

由於每個數組單元的計算耗費O（1）的時間，此部分算法耗時為O（mn）。

b.構造最長公共子序列

該算法每一次遞歸調用使i或j減1，因此算法的計算時間為O（m+n）。

生成的數據可導入EXCEL中進行數據分析生成分析圖表。