數字三角形，從遞歸到動態規划

 一.實踐題目

 

數字三角形 

給定一個由 n行數字組成的數字三角形如下圖所示。試設計一個算法，計算出從三角形 的頂至底的一條路徑(每一步可沿左斜線向下或右斜線向下)，使該路徑經過的數字總和最大。

輸入格式:

輸入有n+1行：

第 1 行是數字三角形的行數 n，1<=n<=100。

接下來 n行是數字三角形各行中的數字。所有數字在0..99 之間。

輸出格式:

輸出最大路徑的值。

輸入樣例:

在這里給出一組輸入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

輸出樣例:

在這里給出相應的輸出。例如：30

二.問題描述
　　輸入數字三角形，從三角形頂點開始，每次只能在左右兩邊選擇路徑，每經過一個點取得該點數值，設計算法，求出和的最大的值。
三.算法描述
　　使用自底向上遞推的方式，在每一行比較改行所有子問題的最優解，繼續往上計算，知道頂點，則比較出的則為最優解。

#include <iostream>
#define Max 101
using namespace std;
 
int n;
int a[Max][Max];  //用來存儲數字三角形的二維數組 
int MaxSum[Max][Max];//用來存儲第i行第j列到底邊的最大值 

int main(){
    //輸入數字三角形 
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j= 1;j<=i;++j)
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i=1;i<=n;++i)
        MaxSum[n][i] = a[n][i];
        
    for(int i=n-1;i>=1;--i)   //自底向上計算 
        for(int j = 1;j<=n;++j)
            MaxSum[i][j] = (MaxSum[i+1][j] > MaxSum[i+1][j+1] ? MaxSum[i+1][j] : MaxSum[i+1][j+1]) + a[i][j];
            
    cout << MaxSum[1][1];
    return 0;
} 

四.算法時間及空間復雜度分析
　　若采用遞歸算法，則時間復雜度為0（2^n),使用遞歸加備忘錄的方法，雖減少了對重復子問題的計算，但進棧出棧的時間、避免了棧溢出等問題仍沒有解決，動態規划算法使用雙重循環自底向上計算最優解，所以時間復雜度為O（n^2），
但新增二維數組保存每個子問題的解，空間復雜度為0（n^2)。

五.心得體會

1.與遞歸方法比，動態規划算法時間復雜度較低，且沒有棧溢出的風險，備忘錄方法雖解決了子問題重復計算的問題，但仍然有棧溢出風險。
2.遞歸方法、遞歸備忘錄方法都是自頂向下的算法，而動態規划算法是自頂向下的迭代算法，子問題只計算一次。
3.動態規划算法是用空間代價換取時間代價的算法。