一.動態規划原理
多階段決策問題中，各個階段采取的決策，一般來說是與時間有關的，決策依賴於當前狀態，又隨即引起狀態的轉移，一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，故有“動態”的含義，稱這種解決多階段決策最優化問題的方法為動態規划方法。
設計動態規划具體要滿足以下三個條件：
動態規划是一門思想，可以引用於很多比較復雜的解決方案中，我個人給他做的定位就是
二.數字三角形
如圖，從9開始往下走，每次只能走相鄰的兩個節點，問如何走才能使數字之和最大化。
這個問題如果采用遍歷的方式那么路徑將會呈指數級別增長,計算量非常大
20 x 21 x 22 ....x 2n-1 = 2 n(n-1) / 2
如果采用貪婪算法每次選擇最大值 ,到達第四層的時候:9+15+8+9 < 9+12+10+18。這種方式只能得到局部最優解，而無法得到全局最優解。
顯然這兩種方式都不是最優的解決方式。如果采用DP(動態規划)可以有效解決。
具體思想：我們從最底層往上走，從5五層到第四層開始比較，選擇最大的值：分別為19+2，18+10，9+10，5+16.然后基於這4個值繼續比較從第4層往第三層走，最后第三層變為18+10+10，18+10+6，5+16+8.按照這種思路依次走到第一層。
接下來由第4層往第3層走 分別選出最大的方案為28+10,29+6,21+8,如圖:
由第3層往第2層 分別選出最大的方案為38+12,34+15,如圖:
由第2層往第1層,可選出38+12,34+15 如圖:
最優方案 如圖:
這樣保證了，從第5層開始，每一次抉擇后的結構都是最優的結果，並且再也不會收到其他因素的音響值不會改變，且有由小到大最終每一個點的連線其實都是自他開始往下的最優解。
剛好滿足了DP算法的三個特性:
1.最優化原理 2.無后向性 3子問題重疊
測試數據和代碼如下：
int array[5][5] = { 7,0,0,0,0, 3,8,0,0,0, 8,1,0,0,0, 2,7,4,4,0, 4,5,2,6,5, }; //動態划分 for (int i = 4 - 1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= 4; j++) { array[i][j] = MAX(array[i + 1][j] , array[i+1][j+1]) + array[i][j]; } } NSLog(@"結果%d",array[0][0]);
三.01背包
有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和？
DP思想如下：拆分結構，尋找最優子元素。 最大結構是5個物品中尋找重量和為10且價值最大的物品，那么最優子結構就是從1個物品選出重量和為1且價值最大的元素，如果條件滿足則就是他本身，不滿足則記為0，然后再一次往上遞增。
| 含義 | name | weight | value | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg | 5kg | 6kg | 7kg | 8kg | 9kg | 10kg |
| abcde可選 | a | 2 | 6 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15（結束） |
| bcde可選 | b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 10 | 11 |
| cde可選 | c | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 11 |
| de可選 | d | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
| e可選 | e | 4 | 6 | 0（開始） | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
表格填寫的順序是從左下開始填寫直到右上結束，如果這個表格你能手動填寫完，那么你就已經學會了01背包規划方案。
為了方便理解，我們選擇幾個典型的進行描述：
表格從白色部分開始數
第5行第2列（e2）:可選物只有e,且有一個負重為2的背包，背包的最大價值為0，因為e本身的重量為4，放不下，這個表格故填0.
第2行第2列（b2）:可選物為b,c,d,e,且有一個負重為2的背包，背包最大價值為3，因為物品b重量為2剛好可以放下且價值為3，表格填3.
第1行第2列（a2）:可選物為a,b,c,d,e，且有一個負重為2的背包,背包最大價值為6，a和b都可以放入背包，且a的價值更大，選擇a，表格填6.
第1行第4列（a4）:可選物a,b,c,d,e， 且有一個負重為4的背包，a可以裝下，那么到底裝不裝如a呢？我們需要做一個比較，假如裝下a，背包剩余負重2，可選物為b,c,d,e, (b2)+6=9大於b4,選擇裝入a更好，所以a4的填入9。
第1行第5列（a6）:裝入a后剩余重量為4，可選b,c,d,e. b(4)+6=12 > b6所以填入12.
若
f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的背包中，可以取得的最大價值。Pi表示第i件物品的價值，Wi表示第i件物品的重量，01背包核心方程式為：
f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi] + Pi( j >= Wi ) , f[i-1,j] }
核心代碼如下：
- (void)viewDidLoad { [super viewDidLoad]; // Do any additional setup after loading the view, typically from a nib. //背包能裝入的總重量為10 5個物品的重量分別為2，2，6，5，4 價值為6，3，5，4，9 int knapsackSize = 10; MyItem * item1 = [MyItem myitemWithWeight:2 value:6]; MyItem * item2 = [MyItem myitemWithWeight:2 value:3]; MyItem * item3 = [MyItem myitemWithWeight:6 value:5]; MyItem * item4 = [MyItem myitemWithWeight:5 value:4]; MyItem * item5 = [MyItem myitemWithWeight:4 value:9]; NSArray* myitems = @[item1,item2,item3,item4,item5]; int value = [self getValueByKnapsack:myitems knapsackSize:knapsackSize]; NSLog(@"背包可裝入的最大價值%d",value); } //計算01背包能裝入的價格最優的值 MyItem（有兩個屬性value和weight） 可以用於被裝的元素 size背包一共能載重多少 -(int)getValueByKnapsack:(NSArray<MyItem *> *)myitems knapsackSize:(int)knapsackSize { //初始化一個 二維表格記錄每個最優策略的值 空間換時間 行數為總元素個數 列數為背包從0開始到總重量數 int ** a; a = (int **)malloc(sizeof(int *) * myitems.count); for (int i = 0; i < myitems.count; i++) { a[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * knapsackSize + 1); a[i][0] = 0; } //最優子元素從只裝1個元素且載重只為1開始計算,保證最優子元素且無后向性 //遍歷重量從假如背包只能載重1的策略開始 for (int i = 1; i <= knapsackSize; i ++) { //可選物品從 0 到 所有 for (int j = 0; j < myitems.count; j++) { MyItem * item = myitems[j]; if (i < item.weight) { //背包裝不下的情況 if (j == 0) { //只有一個可選數據時 a[j][i] = 0; } else { //有多個可選數據 則使用上一個最優策略 a[j][i] = a[j-1][i]; } } else { //背包裝的下的情況 if (j == 0) { //只有一個可選數據 這個數據記錄為最優策略 a[j][i] = item.value; } else { //有多個可選擇的物品 則和上一個最優策略比較選擇最優策略 a[j][i] = MAX(a[j - 1][i], item.value + a[j - 1][i - item.weight]); } } } } //查詢最大值 int maxValue = 0; for (int i = 1; i <= knapsackSize; i ++) { for (int j = 0; j < myitems.count; j ++) { if (a[j][i] > maxValue) { maxValue = a[j][i]; } } } return maxValue; }
四.迪傑斯特拉最短路徑
求從1號點開始出發到后面所有點的最短路徑。
為了跟直觀的讓計算機來表示這組路徑，我們可以把他轉化為一個二維數組。
表示每個點到其他點的距離，無法直接到達通過∞表示
DP思想如下：
要求1到所有點的位置都是最最短路徑，那么計算出來了后1隨便指定一個點都肯定是最優的，同樣在這個大組合中先拆分為子元素，子元素就是1到任意一個指定點比如1-2、1-3等等，然后從最小子元素開始算起。
用一個1位數組dis來表示1到各個點的路程，初始如下：
這個最小的子元素就是1-2，因為2號是離1最近的點，再沒有誰比他更近了，那么dis[2]的值就成了確定了，以后再不會收誰的影響而改變了，1-2的距離等於1肯定是最短的路徑。
既然已經選擇了2，那么再看看接下來從2號能到哪里呢，有2-3，2-4. 還是和以前一樣開始比較看看誰才是最優解dis[2] + e[2][3] = 1 + 9 < dis[3], 1-2在2-3的方式比直接從1-3更優，因此dis[3] 更新為10，這個過程叫做“松弛”,1好到3號的路程就是dis[3]，通過2-3松弛成功。這就是迪傑斯特拉核心思想：通過邊來松弛各個路程。同樣dis[2] + e[2][4] = 4 < dis[4],因此dis[4]更新為4，松弛后的dis數組變為：
接下來繼續從剩下的3，4，5，6中選出距離1最近的點進比較。3，4，5，6最近的是4，dis[4]的值變成了確定值. 4可以經過的路線有4-3,4-5,4-6.按照之前的方案新一輪松弛之后dis數組變為:
接下來從剩下的3,5,6中選出距離1最近的點，點3。dis[3]變成了確定了，3有3-5。松弛后變為:
接下來從5，6中選出5,有5-6,松弛后變為:
最后還有6，松弛后變為:
最終這個松弛后的Dis數組就是從1到各個點的最佳路徑。
總結一下就是：每次知道離原點(上面例子就是1)最近的一個點，然后以該點為中心進行松弛，知道所有的點都走完一個輪詢，最終得到所有離原點最近的點。
核心代碼如下:
//構建鄰接矩陣 實際上為6,6 為了方便顯示所有從1~6開始計算 int matrix[7][7] = { 0,0,0,0,0,0,0, 0,0,1,12,999,999,999, 0,999,0,9,3,999,999, 0,999,999,0,999,5,999, 0,999,999,4,0,13,15, 0,999,999,999,999,0,4, 0,999,999,999,999,999,0 }; int book[7] = {0,0,0,0,0,0,0}; //記錄已經處理過的頂點 int dis[7] = {0,0,1,12,999,999,999}; //最佳路徑 默認是1到所有點的距離,999為無線大距離 注: 從1開始計算 int u = 0; for (int i = 1; i<=6; i++) { //表示查找次數 int min = 999; //尋找距離頂點1最近的點,且為松弛的點 for (int j = 1; j <=6; j++) { if (book[j] == 0 && dis[j] < min) { min = dis[j]; u = j; } } book[u] = 1; //標志U目前是距離1點最近且未處理的點, 馬上要用於處理 for (int k = 1; k <= 6 ; k++) { //查找U點可以到達的路權,且比較計算最優的dis if (matrix[u][k] < 999) { if (dis[u] + matrix[u][k] < dis[k]) { //如果1點到U點+U點到K點的距離 < dis[k]的距離,則更新最優距離 dis[k] = dis[u] + matrix[u][k]; } } } }
五.拓展：
最后再拓展一個小問題，你可以先不看思路嘗試着自己用動態划分的思想解決。
對於一個從1到N的連續整數集合{1,2,3......,n-1,n},划分為兩個子集，保證兩個集合的和相等。
例：n=3可分為{1,2}and{3}. 如果n=7可分為 {1,6,7} and {2,3,4,5} {2,5,7} and {1,3,4,6} {3,4,7} and {1,2,5,6} {1,2,4,7} and {3,5,6}
設計一個程序 輸入任意數划分出可行的方案數，不能划分則輸出0.
思路如下：
1+2+3.....+n = n*(n+1)/2, 兩個相同的子集任意一個的和肯定為總數和的一半，顧和一定為n*(n+1)/4，計作f(n). 所以這個題可以轉化為從集合中找出和為f(n)的子集合的數量，將他除以2就是我們可以得到的划分方案。 這樣又可以用01背包的思想再次轉換，就成了背包問題了。物品1,2,3......,n， 價值分別為1,2,3......,n.給定一個稱重為f(n)的背包，問一共有多少種方案讓其剛好放滿，最后將方案除以2就是真確結果。
表格划分如下：
