數字三角形(POJ1163)
Description
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2 7 4 4
4 5 2 6 5
在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得
路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或
右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。
三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99
輸入格式：
5 //三角形行數。下面是三角形
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要求輸出最大和
Sample Output
30
Source
解題思路：
用二維數組存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中，
最佳路徑的數字之和。
問題：求 MaxSum(1,1)
典型的遞歸問題。
D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對於N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
改進
如果每算出一個MaxSum(r,j)就保存起來，下次用
到其值的時候直接取用，則可免去重復計算。
遞歸轉成遞推
“人人為我”遞推型動歸 Pascal代碼
1 //By LYLtim 2 //2010.10.18 3 uses math; 4 var n,i,j:byte; 5 a:array[1..10,1..10]of word; 6 f:array[1..10,1..10]of word; 7 begin 8 assign(input,'tower.in');reset(input); 9 assign(output,'tower.out');rewrite(output); 10 readln(n); 11 for i:=1 to n do 12 begin 13 for j:=1 to i do 14 read(a[i,j]); 15 readln; 16 end; 17 fillchar(f,sizeof(f),0); 18 for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i]; 19 for i:=n-1 downto 1 do 20 for j:=1 to i do 21 f[i,j]:=max(f[i+1,j],f[i+1,j+1])+a[i,j]; 22 writeln('max=',f[1,1]); 23 close(input);close(output); 24 end.
空間優化
沒必要用二維maxSum數組存儲每一個MaxSum(r,j),只要從底層一行行向上
遞推，那么只要一維數組maxSum[100]即可,即只要存儲一行的MaxSum值就
可以。
進一步考慮，連maxSum數組都可以不要，直接用D的
第n行替代maxSum即可。
節省空間，時間復雜度不變
1 //By LYLtim 2 //2015.2.11 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 int main() 7 { 8 int n, d[101][101]; 9 cin >> n; 10 for (int i = 1; i <= n; i++) 11 for (int j = 1; j <= i; j++) 12 cin >> d[i][j]; 13 for (int i = n-1; i >= 1 ; i--) 14 for (int j = 1; j <= i; j++) 15 d[n][j] = max(d[n][j], d[n][j+1]) + d[i][j]; 16 cout << d[n][1]; 17 }
遞歸函數有n個參數，就定義一個n維的數組，數組
的下標是遞歸函數參數的取值范圍，數組元素的值
是遞歸函數的返回值，這樣就可以從邊界值開始，
逐步填充數組，相當於計算遞歸函數值的逆過程。
動規解題的一般思路
1. 將原問題分解為子問題
把原問題分解為若干個子問題，子問題和原問題形式相同
或類似，只不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解
決(數字三角形例）。
子問題的解一旦求出就會被保存，所以每個子問題只需求
解一次。
2. 確定狀態
在用動態規划解題時，我們往往將和子問題相
關的各個變量的一組取值，稱之為一個“狀
態”。一個“狀態”對應於一個或多個子問題，
所謂某個“狀態”下的“值”，就是這個“狀
態”所對應的子問題的解。
所有“狀態”的集合，構成問題的“狀態空間”。“狀態
空間”的大小，與用動態規划解決問題的時間復雜度直接相關。
在數字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2個數字，所以這個
問題的狀態空間里一共就有N×(N+1)/2個狀態。
整個問題的時間復雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需
時間。
在數字三角形里每個“狀態”只需要經過一次，且在每個
狀態上作計算所花的時間都是和N無關的常數。
用動態規划解題，經常碰到的情況是，K個整型變量能
構成一個狀態（如數字三角形中的行號和列號這兩個變量
構成“狀態”）。如果這K個整型變量的取值范圍分別是
N1, N2, ……Nk，那么，我們就可以用一個K維的數組
array[N1] [N2]……[Nk]來存儲各個狀態的“值”。這個
“值”未必就是一個整數或浮點數，可能是需要一個結構
才能表示的，那么array就可以是一個結構數組。一個
“狀態”下的“值”通常會是一個或多個子問題的解。
3. 確定一些初始狀態（邊界狀態）的值
以“數字三角形”為例，初始狀態就是底邊數字，值
就是底邊數字值。
4. 確定狀態轉移方程
定義出什么是“狀態”，以及在該 “狀態”下的“值”后，就要
找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從一個或多個“值”已知的
“狀態”，求出另一個“狀態”的“值”(“人人為我”遞推型)。狀
態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作“狀態轉移方
程”。
能用動規解決的問題的特點
1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的
子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結
構性質。
2) 無后效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此后過程
的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是采取哪
種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒
有關系。