數字三角形【匯總】

1220 數字三角形

題目鏈接http://codevs.cn/problem/1220/

題目描述  Description

如圖所示的數字三角形，從頂部出發，在每一結點可以選擇向左走或得向右走，一直走到底層，要求找出一條路徑，使路徑上的值最大。

輸入描述  Input Description

第一行是數塔層數N(1<=N<=100)。

第二行起，按數塔圖形，有一個或多個的整數，表示該層節點的值，共有N行。

輸出描述  Output Description

輸出最大值。

樣例輸入  Sample Input

5

13

11 8

12 7 26

6 14 15 8

12 7 13 24 11

樣例輸出  Sample Output

86

解題思路：

參考北大郭煒老師

用二維數組存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
問題：求 MaxSum(1,1)
典型的遞歸問題。
D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對於N行的三角形：
if ( r == N)  MaxSum(r,j) = D(r,j)
else  MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) }  + D(r,j)

 

下面四段代碼分別是存粹遞歸、記憶型遞歸、遞推、空間優化的遞推的代碼：

#include <stdio.h>

#define maxN 101

int N;
int D[maxN][maxN];      //D[i][j]表示第i行第 j 個數字。其中i、j從1開始算

int maxSum[maxN][maxN]; //maxSum[i][j]表示從D(i,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。


//代碼一：純粹遞歸。當N達到100是絕對是超時的。因為復雜度是O(2^N) 
int fun1(int i,int j)//返回從（i，j）到達最底層的最大路徑之和 
{
    if(i==N) return D[i][j];
    else
    {
        int x=fun1(i+1,j);
        int y=fun1(i+1,j+1);
        return D[i][j]+(x>y?x:y);
    }
}

//代碼二：記憶型遞歸，避免重復計算。時間復雜度O(n*n) 
int fun2(int i,int j)//返回從（i，j）到達最底層的最大路徑之和 
{
    if(maxSum[i][j]!=-1) return maxSum[i][j];
    
    if(i==N) maxSum[i][j]=D[i][j];
    else
    {
        int x=fun2(i+1,j);
        int y=fun2(i+1,j+1);
        maxSum[i][j]=D[i][j]+(x>y?x:y);
    }
    
    return maxSum[i][j];
}

//代碼三：遞歸變遞推 
int fun3()
{
    int i,j;
    for(j=1;j<=N;j++) maxSum[N][j]=D[N][j];
    
    for(i=N-1;i>=1;i--)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            int max=(maxSum[i+1][j]>maxSum[i+1][j+1]?maxSum[i+1][j]:maxSum[i+1][j+1]);
            maxSum[i][j]=D[i][j]+max;
        }
    }
    return maxSum[1][1];
}

//代碼四：遞歸變遞推並在空間上做優化
int fun4()
{
    int i,j;

    for(i=N-1;i>=1;i--)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            int max=(D[i+1][j]>D[i+1][j+1]?D[i+1][j]:D[i+1][j+1]);
            D[i][j]=D[i][j]+max;
        }
    }
    return D[1][1];
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j;
    freopen("001.in","r",stdin);
    scanf("%d",&N);
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            scanf("%d",&D[i][j]);
            maxSum[i][j]=-1;
        }
    }
    
    //printf("%d\n",fun1(1,1));
    //printf("%d\n",fun2(1,1));
    //printf("%d\n",fun3());
    printf("%d\n",fun4());
    return 0;
}

 補充一個深度優先搜索的實現。僅僅只是演示一下算法，時間復雜度應該是很高，無法AC的。

#include<stdio.h>
#define maxN 101
int n,a[maxN][maxN]={0};
int xx[2]={1,1};
int yy[2]={0,1};
int ans=0,maxAns=0;
void dfs(int x,int y)
{
    int i;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        int newX=x+xx[i];
        int newY=y+yy[i];
        if(newX<=n&&newY<=n)
        {
            ans=ans+a[newX][newY];
            if(newX==n)
            {
                if(ans>maxAns) maxAns=ans;
            }
            else dfs(newX,newY);
            ans=ans-a[newX][newY];
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j;
    freopen("data.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
        
    ans=maxAns=a[1][1];
    dfs(1,1);
    
    printf("%d\n",maxAns);
    return 0;
}

其實本質和上面遞歸實現的做法是一致的，只是代碼實現框架不同而已。

 

 

 

 

2193 數字三角形WW

題目鏈接：http://codevs.cn/problem/2193/

題目描述  Description

本道題目由上面數字三角形變化而來。具體變化是：從數字三角形頂部往底層走時必須經過某一個指定點，使之走的路程和最大

輸入描述  Input Description

第1行n，表示n行
第2到n+1行為每個的權值
程序必須經過n div 2,n div 2這個點

輸出描述  Output Description

最大值

樣例輸入  Sample Input

2
1
1 1

樣例輸出  Sample Output

2

數據范圍及提示  Data Size & Hint

n <=25

算法分析

這道題只需讓必須經過的點的權值加上一個特別大的值，最后的結果再減去這個值就行了。實際上，狀態轉移方程和上面第一題是沒有變的。

我這里在輸入時順便把所有元素累加求和得到sum。然后把這個sum加到必須走的那個點。

#include <stdio.h>
#define maxN 101
int n,a[maxN][maxN];
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,x,y,sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
            { scanf("%d",&a[i][j]); sum=sum+a[i][j]; }
    x=n/2; y=n/2;
    a[x][y]+=sum;
    for(i=n-1;i>=1;i--)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            a[i][j]+=(a[i+1][j]>a[i+1][j+1]?a[i+1][j]:a[i+1][j+1]);
        }
    }
    printf("%d\n",a[1][1]-sum);
    return 0;
}

 

2198 數字三角形WWW

題目鏈接：http://codevs.cn/problem/2198/

題目描述  Description

本道題目由上面第一題數字三角形變化而來。具體變化是：從數字三角形必須經過某一個點，使之走的路程和最大

輸入描述  Input Description

第1行n，表示n行 
第2到n+1行為每個的權值
第n+2行為兩個數x,y表示必須經過的點

輸出描述  Output Description

最大值

樣例輸入  Sample Input

2
1
1 1
1 1

樣例輸出  Sample Output

2

數據范圍及提示  Data Size & Hint

n<=25

算法分析

這個題目和第二題並沒什么區別，唯一區別就是輸入時多輸入x和y表示必須要走過的點。

#include <stdio.h>
#define maxN 101
int n,a[maxN][maxN];
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,x,y,sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
            { scanf("%d",&a[i][j]); sum=sum+a[i][j]; }
    //x=n/2; y=n/2;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    a[x][y]+=sum;
    for(i=n-1;i>=1;i--)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            a[i][j]+=(a[i+1][j]>a[i+1][j+1]?a[i+1][j]:a[i+1][j+1]);
        }
    }
    printf("%d\n",a[1][1]-sum);
    return 0;
}

 

上面三道題目的代碼中用到的動規狀態轉移方程都是逆推，從最后一行往前遞推。其實也是可以順着推的。比如第三題的代碼可以像下面這一段這么寫：（下面代碼中，f[i][j]表示的是從(i,j)這個點到達(1，1)這個點的最大路徑之和。另外，這里用了兩個數組，其實僅用一個數組即可，類似上述代碼。）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,x,y,w[35][35],ko;
long long f[35][35];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=i;j++)
        scanf("%d",&w[i][j]);
    scanf("%d%d",&x,&y);
    w[x][y]+=99999999;
    f[1][1]=w[1][1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=i;j++)
        f[i][j]=w[i][j]+max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%lld",ans-99999999);
    return 0;
}

 

2189 數字三角形W

題目鏈接：http://codevs.cn/problem/2189/

這個題目仍然是由上面第一題的數字三角形變化而來。具體如下：

題目描述  Description

數字三角形
要求走到最后mod 100最大

輸入描述  Input Description

第1行n，表示n行
第2到n+1行為每個的權值

輸出描述  Output Description

mod 100最大值

樣例輸入  Sample Input

2
1
99 98

樣例輸出  Sample Output

99

數據范圍及提示  Data Size & Hint

n<=25

算法分析

這個題目的改動使得問題處理起來比較麻煩了。本來比較大的一個數，加上那么一點點，再取模，可能就很小了。顯然這已經不再滿足動態規划的無后效性原則了。怎么辦呢？

可以開一個布爾型的三維數組，用f[i][j][k]表示走到位置(i,j)時路徑權值之和再取模能否得到k這個值，於是得到這樣一個狀態轉移方程：

f[i][j][k]=f[i][j][k] or f[i-1][j][(k-a[i][j]+m)%m] or f[i-1][j-1][(k-a[i][j]+m)%m]，這里面加上m是為了防止出現負下標。
最后找一遍那個目標狀態存在就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=26;
int n;
int a[MAXN][MAXN];
bool f[MAXN][MAXN][101];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)f[n][i][a[n][i]%100]=1;
    
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            for(int k=0;k<=99;k++)
            f[i][j][k]=f[i+1][j][(k-a[i][j]+100)%100]||f[i+1][j+1][(k-a[i][j]+100)%100];
    
    for(int k=100;k>=1;k--)
        if(f[1][1][k]==1){cout<<k;break;}
    return 0;
}

下面這一段代碼可能比較好理解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[26][26]={0};
bool f[26][26][102]={0};
int main()
{
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)           //數據的讀入 
        for (int j=1;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];
    
    for (int i=1;i<=n;i++)          //這一步的代碼是為了將最后一排的所有數存下來 
        f[n][i][a[n][i]]=true;
    
    for (int i=n-1;i>=1;--i)        //這里是主要過程，思路：將所有的可能性mod100都存下來， 
        for (int j=1;j<=i;j++)
            for (int k=0;k<=99;k++)
                {
                    if (f[i+1][j][k])  f[i][j][(k+a[i][j])%100]=true;
                    if (f[i+1][j+1][k])    f[i][j][(k+a[i][j])%100]=true;
                }
        for (int k=99;k>=0;--k)       //找出所有可能性中最大的可能，輸出，這個題就AC咯、 
            if (f[1][1][k])
                {
                    cout<<k;
                    return 0;
                }
}

 

4829 [DP]數字三角形升級版  &  4832 [DP]數字三角形升級版

（ps：兩道題其實是一樣的，據說數據規模不同）

題目鏈接：4829  ，  4832 

題目仍然是由上面第一題的數字三角形變化而來，具體如下：

題目描述  Description

從數字三角形的頂部到底部有很多條不同的路徑。對於每條路徑，把路徑上面的數加起來可以得到一個和，且你有一次機會可以把任何一個數重復加一遍。

和最大的路徑稱為最佳路徑。你的任務就是求出最佳路徑上的數字之和。

輸入描述  Input Description

第一行：一個數，表示行數。

接下來n行為數塔

輸出描述  Output Description

一個數即最優結果

樣例輸入  Sample Input

5

1

1 3

1 1 3

1 1 1 3

7 1 1 1 3

樣例輸出  Sample Output

18

數據范圍及提示  Data Size & Hint

三角形行數不大於1000。最大和不大於maxlongint

算法分析

這個似乎有點類似於背包問題的回溯法求解。可以對動規數組增加一維，用於記錄從底層到達(i,j)這個位置的路徑上是否曾經有數字被重復使用過。具體參見以下代碼：

（代碼來自codevs討論版塊）

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int a[1000][1000];
int f[1000][1000][2];
int i,j;
int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
      for(j=0;j<=i;j++)cin>>a[i][j];
    for(i=0;i<n;i++){
      f[n-1][i][0]=a[n-1][i];
      f[n-1][i][1]=a[n-1][i]<<1;//f[n-1][i][1]=a[n-1][i]*2;
      }
    for(i=n-2;i>=0;i--)
      for(j=0;j<=i;j++){
        f[i][j][0]=a[i][j]+max(f[i+1][j][0],f[i+1][j+1][0]);
        f[i][j][1]=a[i][j]+max(f[i+1][j][1],f[i+1][j+1][1]);
        f[i][j][1]=max(f[i][j][1],f[i][j][0]+a[i][j]);
        }
    cout<<f[0][0][1]<<endl;
    return 0;
}

 

再補充一道數字三角形變形的題目：

Vijos1006 晴天小豬歷險記之Hill      、    題解

 

關於數字三角形，還有一題：5585 數字三角形第k優解，暫時未搞懂怎解，希望各位大神留言解答呵呵。

 

參考資料：

【強烈建議閱讀】http://blog.csdn.net/Little_Flower_0/article/details/47945611

【強烈建議閱讀】http://blog.csdn.net/qq_35776409/article/details/62890528   

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6790960.html

http://www.genshuixue.com/i-cxy/p/8020923