數字三角形從頂到底的最大路徑和

問題描述：

           7

       3       8

   8       1        0

2      7       4          4

      在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。

      三角形的行數大於1小於等於100，數字為0~99.

輸入格式：

4 ///三角形的行數。下面是三角形

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

要求輸出最大和

第一種方法：利用遞歸（超時，原因是重復計算，時間復雜度是2ⁿ）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Max 101
using namespace std;
int D[Max][Max];
int n;
int MaxSum(int i,int j)
{
    if(i==n)
        return D[i][j];
    int x=MaxSum(i+1,j);
    int y=MaxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y)+D[i][j];
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
    }
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}

第二種方法是動態規划（用數組存放已經計算出來的值，避免重復計算，時間復雜度是n²）

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int maxSum[Max][Max];
int MaxSum(int i,int j)
{
    if(maxSum[i][j]!=-1)
        return maxSum[i][j];
    if(i==n)
        maxSum[i][j]=D[i][j];
    else
    {
        int x=MaxSum(i+1,j);
        int y=MaxSum(i+1,j+1);
        maxSum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
    }
    return maxSum[i][j];
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
        maxSum[i][j]=-1;
    }
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}

 第三種方法：遞歸改為遞推，從底往上計算

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int maxSum[Max][Max];
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
            cin>>D[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        maxSum[n][i]=D[n][i];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j];
    }
    cout<<maxSum[1][1]<<endl;
    return 0;
}

第四種方法：進行空間優化 將二維數組轉變為一維數組向上翻滾

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int *maxSum;
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
    }
    maxSum=D[n];////maxSum指向第n行
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        maxSum[j]=max(maxSum[j],maxSum[j+1])+D[i][j];
    }
    cout<<maxSum[1]<<endl;
    return 0;
}

第五種方法是直接利用D[n]代替int maxsum[n]
第二種方法到第五種方法的時間復雜度都是n*n。