概率論 - 方差

• 方差定義及詳細解釋：
  • https://baike.baidu.com/item/%E6%96%B9%E5%B7%AE/3108412?fr=aladdin
  • 方差：variance
• Refer to note of Variance:
https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html
• 定義
  • 方差
    • 方差在統計描述和概率分布中各有不同的定義，並有不同的公式。
      在統計描述中，方差用來計算每一個變量（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學采用平均離均差平方和來描述變量的變異程度。總體方差計算公式：
      
      

      為總體方差，

      

      為變量，

      

      為總體均值，

      

      為總體例數。
    • 實際工作中，總體均數難以得到時，應用樣本統計量代替總體參數，經校正后，樣本方差計算公式：
      S^2= ∑（X-

      

      ） ^2 / （n-1）
      S^2為樣本方差，X為變量，

      

      為樣本均值，n為樣本例數。
      在概率分布中，設X是一個離散型 隨機變量，若E{[X-E（X）]^2}存在，則稱E{[X-E（X）]^2}為X的方差，記為D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是變量值，公式中的E是期望值expected value的縮寫，意為“變量值與其期望值之差的平方和”的期望值。
    • 離散型隨機變量方差計算公式：
      D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2） - [ E（X）]^2
      當D（X）=E{[X-E（X）]^2}稱為變量X的方差，而

      

      稱為標准差 （或 均方差 ）。它與X有相同的量綱。標准差是用來衡量一組數據的離散程度的 統計量
    • 對於連續型隨機變量X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變量X方差計算公式：
      D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx
      方差刻畫了隨機變量的取值對於其數學期望的 離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）
      若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。
      因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。
    • 方差是實際值與 期望值之差 平方的 平均值，而 標准差是方差算術 平方根。 在實際計算中，我們用以下公式計算方差。
      • 方差是各個數據與 平均數之差的平方的和的平均數，即

        

        ，其中，x表示 樣本的平均數，n表示樣本的數量，x _i表示個體，而s^2就表示方差。
        而當用

        

        作為樣本X的方差的估計時，發現其數學期望並不是X的方差，而是X方差的

        

        倍，

        

        的數學期望才是X的方差，用它作為X的方差的估計具有“ 無偏性”，所以我們總是用

        

        來估計X的方差，並且把它叫做“ 樣本方差”。
      • 方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數據的波動大小（即這批數據偏離平均數的大小）並把它叫做這組數據的方差，記作S ²。
      • 在 樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數據的波動越大，越不穩定。
        公式可以進一步推導為：

        

        。其中x為這組數據中的數據，n為大於0的整數。
        方差
  • 標准差
    • 而
      
      稱為標准差（或均方差), 它與X有相同的量綱。標准差是用來衡量一組數據的離散程度的統計量
• 方差的公式
  • 設C是常數，則D（C）=0
  • 設X是隨機變量，C是常數，則有
    
  • 設 X 與 Y 是兩個隨機變量，則
    
    其中協方差

    
    特別的，當X，Y是兩個不相關的隨機變量則
    
    此性質可以推廣到有限多個兩兩不相關的隨機變量之和的情況。
  • D（X）=0的充分必要條件是X以概率1取常數E（X），即
    
    （當且僅當X取常數值E（X）時的概率為1時，D（X）=0。）
    注：不能得出X恆等於常數，當x是連續的時候X可以在任意有限個點取不等於常數c的值。
  • D（aX+bY）=a²DX+b²DY+2abCov（X，Y）。
• 方差的種類及公式
• 隨機變量的期望及方差
• 離散型
  • 
• 連續型
  • 
  • Links
• 超幾何分布
• 二項分布
• 泊松分布
• 均勻分布
• 指數分布
• 正態分布
• 標准正態分布
• 統計學意義
  • 當數據分布比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；
  • 當數據分布比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小。
    • 樣本中各數據與 樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；
    • 樣本方差的 算術平方根叫做樣本 標准差。
    • 樣本方差和樣本標准差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標准差越大，樣本數據的波動就越大。
    • 方差和標准差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標。方差是各變量值與其 均值 離差平方的平均數，它是測算 數值型數據 離散程度的最重要的方法。 標准差為方差的算術平方根，用S表示。方差相應的計算公式為：
      
      標准差與方差不同的是，標准差和變量的計算單位相同，比方差清楚，因此很多時候我們分析的時候更多的使用的是標准差。
• 方差演變：某一個變量的方差等於平方的期望減去期望的平方
  • 某一個隨機變量的方差就是該隨機變量函數的數學期望。我們可以利用數學期望的性質繼續向下計算：

    

    　　所以說某一個變量的方差等於平方的期望減去期望的平方：