概率论 - 方差

• 方差定义及详细解释：
  • https://baike.baidu.com/item/%E6%96%B9%E5%B7%AE/3108412?fr=aladdin
  • 方差：variance
• Refer to note of Variance:
https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html
• 定义
  • 方差
    • 方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。
      在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式：
      
      

      为总体方差，

      

      为变量，

      

      为总体均值，

      

      为总体例数。
    • 实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式：
      S^2= ∑（X-

      

      ） ^2 / （n-1）
      S^2为样本方差，X为变量，

      

      为样本均值，n为样本例数。
      在概率分布中，设X是一个离散型 随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值，公式中的E是期望值expected value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。
    • 离散型随机变量方差计算公式：
      D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2） - [ E（X）]^2
      当D（X）=E{[X-E（X）]^2}称为变量X的方差，而

      

      称为标准差 （或 均方差 ）。它与X有相同的量纲。标准差是用来衡量一组数据的离散程度的 统计量
    • 对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：
      D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx
      方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的 离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）
      若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。
      因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
    • 方差是实际值与 期望值之差 平方的 平均值，而 标准差是方差算术 平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
      • 方差是各个数据与 平均数之差的平方的和的平均数，即

        

        ，其中，x表示 样本的平均数，n表示样本的数量，x _i表示个体，而s^2就表示方差。
        而当用

        

        作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的

        

        倍，

        

        的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“ 无偏性”，所以我们总是用

        

        来估计X的方差，并且把它叫做“ 样本方差”。
      • 方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差，记作S ²。
      • 在 样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
        公式可以进一步推导为：

        

        。其中x为这组数据中的数据，n为大于0的整数。
        方差
  • 标准差
    • 而
      
      称为标准差（或均方差), 它与X有相同的量纲。标准差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量
• 方差的公式
  • 设C是常数，则D（C）=0
  • 设X是随机变量，C是常数，则有
    
  • 设 X 与 Y 是两个随机变量，则
    
    其中协方差

    
    特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则
    
    此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
  • D（X）=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即
    
    （当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，D（X）=0。）
    注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。
  • D（aX+bY）=a²DX+b²DY+2abCov（X，Y）。
• 方差的种类及公式
• 随机变量的期望及方差
• 离散型
  • 
• 连续型
  • 
  • Links
• 超几何分布
• 二项分布
• 泊松分布
• 均匀分布
• 指数分布
• 正态分布
• 标准正态分布
• 统计学意义
  • 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；
  • 当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
    • 样本中各数据与 样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；
    • 样本方差的 算术平方根叫做样本 标准差。
    • 样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
    • 方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其 均值 离差平方的平均数，它是测算 数值型数据 离散程度的最重要的方法。 标准差为方差的算术平方根，用S表示。方差相应的计算公式为：
      
      标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
• 方差演变：某一个变量的方差等于平方的期望减去期望的平方
  • 某一个随机变量的方差就是该随机变量函数的数学期望。我们可以利用数学期望的性质继续向下计算：

    

    　　所以说某一个变量的方差等于平方的期望减去期望的平方：