冒泡排序算法的最佳時間復雜度為啥為O(n)

 

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侵刪，謹供自己參考。

 

 

我在許多書本上看到冒泡排序的最佳時間復雜度是O(n)，即是在序列本來就是正序的情況下。

但我一直不明白這是怎么算出來的，因此通過閱讀《算法導論-第2版》的2.2節，使用對插入排序最佳時間復雜度推算的方法，來計算冒泡排序的復雜度。

1. 《算法導論》2.2中對插入排序最佳時間復雜度的推算

　　在最好情況下，6和7總不被執行，5每次只被執行1次。因此，

　　

　　時間復雜度為O(n)

 

2. 冒泡排序的時間復雜度

　　2.1 排序代碼

public void bubbleSort(int arr[]) {
    for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {
        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {
            if(arr[j + 1] < arr[j])
                swap(arr, j, j + 1);
        }
    }
}

　　2.2 最佳情況

　　　　序列原本就是正序

　　2.3 最佳情況時間復雜度推算

語句	cost	times
i = 0, len = arr.length	c1	1
i < len - 1	c2	n
i++	c3	n - 1
j = 0	c4	n - 1
j < len - i - 1	c5	t(i=0) + t(i=1) + ... + t(i = n-2)
j++	c6	t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)
arr[j + 1] < arr[j]	c7	t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)
swap(arr, j, j + 1)	c8	t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)

　　T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)] + c8[t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)];　

　　當序列原本就是正序時，8從不被執行。因此

　　T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)];

　　此時的時間復雜度應為O(n^2)。

　　可是網上和許多書上都寫道是O(n)，不知是否有人能幫我解答一下呢？

　　2.4 在Stackoverflow上問到答案了。

　　我原本的代碼的時間復雜度確實應該是O(n^2)，但算法可以改進，使最佳情況時為O(n)。改進后的代碼為：

public void bubbleSort(int arr[]) {
    boolean didSwap;
    for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {
        didSwap = false;
        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {
            if(arr[j + 1] < arr[j]) {
                swap(arr, j, j + 1);
                didSwap = true;
            }
        }
        if(didSwap == false)
            return;
    }    
}