公理
雙方使用同一規則加密---------密鑰（對稱加密算法DES）data encryption standard
最大問題
雙方一起制定--------辦法：密鑰交換算法，不用直接傳遞密鑰------------------私鑰（非對稱加密算法RSA）三位數學家Rivest、Shamir 和 Adleman
互質關系
除了1以外，沒有其他公因子 比如，15和32沒有公因子:
- 任意兩個質數構成互質關系，比如13和61。
- 一個數是質數，另一個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關系，比如3和10。
- 如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關系，比如97和57。
- 1和任意一個自然數是都是互質關系，比如1和99。
- p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關系，比如57和56。
6. p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關系，比如17和15。
歐拉函數
任意正整數n，請問在 <= n 的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？-----歐拉函數
Φ(n) = n * (1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*(1 - 1/p3)*(1 - 1/p4)
Φ(1323) = Φ(3^3 * 7^2) = 1323 * （1 - 1/3）（1 - 1/7）
歐拉定理
----- a和b互質
------- a^Φ(b) = 1 (mod b) -----》 a的（b的歐拉函數）次方減一 :等於:能整除b
3和7互質，而7的歐拉函數φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）
模反元素
如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數是1
-------ab==1(mod n)
-------a*a^(Φ(b) - 1) = 1 (mod b)
密鑰生成的步驟
公鑰和私鑰
第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和q-----------------61和53
第二步，計算p和q的乘積n------------------------------3233寫成二進制是110010100001，一共有12位，所以這個密鑰就是12位實際應用中，RSA密鑰一般是1024位，重要場合則為2048位
n = p×q
第三步，計算n的歐拉函數φ(n)-----------------φ(3233)等於60×52，即3120
φ(n) = (p-1)(q-1)
第四步，隨機選擇一個整數e，條件是1------------在1到3120之間，隨機選擇了17,實際應用中，常常選擇65537
e ≡ range(1 , φ(n))
第五步，計算e對於φ(n)的模反元素d
ed ≡ 1 (mod φ(n))------------------17x + 3120y = 1(二元一次方程)
第六步，將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰
其中一個解 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753
n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）
質積，隨機，模反元素， 公鑰（質積，隨機），私鑰（質積，模反元素）
RSA算法的可靠性
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。---------n根號2
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
加密和解密
1 加密要用公鑰 (n,e)
信息m必須是整數（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必須小於n
me ≡ c (mod n)
愛麗絲的公鑰是 (3233, 17)，鮑勃的m假設是65
65 * 17 ≡ 2790 (mod 3233)
鮑勃就把2790發給了愛麗絲
2 解密要用私鑰(n,d)
用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密
cd ≡ m (mod n)
2790 * 2753 ≡ 65 (mod 3233)
如果要加密大於n的整數，該怎么辦？有兩種解決方法：一種是把長信息分割成若干段短消息，每段分別加密；另一種是先選擇一種"對稱性加密算法"（比如DES），用這種算法的密鑰加密信息，再用RSA公鑰加密DES密鑰。
私鑰解密的證明
最后，我們來證明，為什么用私鑰解密，一定可以正確地得到m。也就是證明下面這個式子：
cd ≡ m (mod n)
因為，根據加密規則
ｍe ≡ c (mod n)
於是，c可以寫成下面的形式：
c = me - kn
將c代入要我們要證明的那個解密規則：
(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同於求證
med ≡ m (mod n)
由於
ed ≡ 1 (mod φ(n))
所以
ed = hφ(n)+1
將ed代入：
mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下來，分成兩種情況證明上面這個式子。
（1）m與n互質。
根據歐拉定理，此時
mφ(n) ≡ 1 (mod n)
得到
(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到證明。
（2）m與n不是互質關系。
此時，由於n等於質數p和q的乘積，所以m必然等於kp或kq。
以 m = kp為例，考慮到這時k與q必然互質，則根據歐拉定理，下面的式子成立：
(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
進一步得到
[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
即
(kp)ed ≡ kp (mod q)
將它改寫成下面的等式
(kp)ed = tq + kp
這時t必然能被p整除，即 t=t'p
(kp)ed = t'pq + kp
因為 m=kp，n=pq，所以
med ≡ m (mod n)
原式得到證明。
結果：
加密：信息*隨機 = 加密信息*歐拉函數
解密：加密信息*模反 = 信息*歐拉函數
核心：隨機*模反 = 1*歐拉函數
應用:
1 分段加密
2 用DES加密信息，用RSA加密DES密鑰