轉自：https://blog.csdn.net/doujinlong1/article/details/82051986
目錄
一，RSA 數學理論基礎
二，RSA實現原理
三，RSA加密的過程
引言
在密碼學最開始，都是使用的普通加密模式
A 用加密規則加密了字符串m 然后發給B
B 用A的加密規則來解密，得到原始信息m
在這個過程中A必須把自己的加密規則告訴B，否則B無法解密這段密文，但是如果把加密規則也告訴B，在傳遞密鑰的過程中，可能就會被攔截獲取，這就是最大的問題。
所以，后來又3位數學家提供了一種算法，實現非對稱加密，后來算法也以他們三個的首字母命名，R（Rivest）S（Shamir ）A（Adleman ）算法。
最開始，我一直理解不了為什么公鑰加密的可以被私鑰解密，一直停留在使用層面，直到今天看到一篇博客，才解決了心中的疑惑。
一，RSA 必備數學理論基礎
要理解整個rsa的流程，需要以下數學基礎
1，互質關系
兩個正整數，除1以外，再沒有別的公因子。 比如 2 和3， 2和 9。
2，歐拉函數
任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關系？）
計算上面這個多少個的函數就被成為歐拉函數，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
3，歐拉定理
由上面的歐拉函數可以經過一系列的推導，得到歐拉定理
如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 可以讓下面的等式成立：
4，特殊情況——費馬小定理
歐拉定理的特殊情況，當第二個數n為質數的情況。
假設正整數a與質數p互質，因為質數p的φ§等於p-1，
5，模反元素
如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數是1。
比如a = 3 ,n = 5,則一定有（a*b）%n =1 ,即3b -1 = 5y,即一定存在一個數2，可以滿足上式。
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6,快速冪取模計算
如果有兩個大數a,b，ab可能是一個計算機無法表示的大數，則(ab)%c的值如何計算？
這里可以使用快速冪取模算法。
java代碼如下：
/** * 快速冪取模 計算 (a^b) %c * @param a * @param b * @param c * @return 計算結果 */ private static int quick(int a,int b,int c) { int ans=1; //記錄結果 a=a%c; //預處理，使得a處於c的數據范圍之下 while(b!=0) { if((b&1)==1){ //1即是0000000000000001，判斷個位是否是1.如果b的二進制位是1，那么我們的結果是要參與運算的 ans=(ans*a)%c; } b>>=1; //二進制的移位操作，相當於每次除以2，用二進制看，就是我們不斷的遍歷b的二進制位 a=(a*a)%c; //不斷的加倍 } return ans; }
二，RSA實現原理
第一步，選擇兩個不等質數p,q（實際密鑰一般為1024位或2048位）
這里我們選擇 61 和53。
第二步，計算乘積n
n = p*q = 3233 (二進制110010100001，只有12位)
第三步，計算n的歐拉函數φ(n)
φ(n) = φ§*φ(q)= (p-1)(q-1) = 3120 。一個質數p的歐拉函數等於p-1
第四步，隨機選擇一個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
取e = 17 (實際應用中，常常選擇65537)。
第五步，計算e對於φ(n)的模反元素d。
即找出一個d滿足 ed互質，且對於φ(n) 取模為1 ，即 ed = 1 (mod φ(n))。
即 ed -1 = kφ(n) ，帶入上面已知條件：
17d -1 = k3120 即 17x +3120y = 1 (據說可以使用 擴展歐幾里得算法求解)
這里直接給出答案 d = 2753。
第六步，將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
代入本次的推導過程中的數字，n = 3233,e = 17, d=2753。公鑰為（3233，17），私鑰為（3233，2723）。
加密使用 （3233，17），解密使用（3233，2723）。
第七步，分析，私鑰的獲取
由六可以看出來，公鑰和私鑰的區別其實只是d，也就是說d的推導是否可以在已知n，e的情況下推導出來。
由第五步，要得出d,已知n,e。需要φ(n)。
由第三部，要得出φ(n)，需要p，q。
而已知n=p*q。而n已知，只需要分解n因子即可。
結論：只要n可以被分解，公私玥加密即可被破解。
第八步，n可以被分解嗎？
在本例中，3233可以很快被破解，但是實際應用中，兩個大質數的積是不容易被分解出來的
例如：
1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413
是以下兩個質數的乘積：
a:
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489
b:
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917
人類已經分解的最大整數（232個十進制位，768個二進制位）。比它更大的因數分解，還沒有被報道過，因此目前被破解的最長RSA密鑰就是768位。而RSA加密一般使用1024位或者2048位，基本可以理解為不可破解
三，RSA加密的過程
1，公鑰（n,e）加密
所有字符串都可以使用ascil碼/unicode值來表示，假設一個字符 m = a，ascii碼為65,需要滿足 m < n 對他進行加密。
m^e ≡ c (mod n),c為加密字符串
n = 3233,e = 17。 上式可以表示為： (65^17)%3233 = c ,c = 2790。
2,私鑰（n,d）解密
(n,d) = (3233,2723) 。在拿到c = 2790之后，進行以下操作：
c^d ≡ m (mod n) 即可得到m 。
推導,m = (2790^2723) %3233 ，在這里使用 必備知識六中的快速冪取模，可以輕松得到答案，m = 65。