摘自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
摘自：https://www.cnblogs.com/hiflora/archive/2013/07/04/3171775.html
如果你問我，哪一種算法最重要？
我可能會回答"公鑰加密算法"。
因為它是計算機通信安全的基石，保證了加密數據不會被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。
進入正題之前，我先簡單介紹一下，什么是"公鑰加密算法"。
一、一點歷史
1976年以前，所有的加密方法都是同一種模式：
（1）甲方選擇某一種加密規則，對信息進行加密；
（2）乙方使用同一種規則，對信息進行解密。
由於加密和解密使用同樣規則（簡稱"密鑰"），這被稱為"對稱加密算法"（Symmetric-key algorithm）。
這種加密模式有一個最大弱點：甲方必須把加密規則告訴乙方，否則無法解密。保存和傳遞密鑰，就成了最頭疼的問題。
1976年，兩位美國計算機學家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不直接傳遞密鑰的情況下，完成解密。這被稱為"Diffie-Hellman密鑰交換算法"。這個算法啟發了其他科學家。人們認識到，加密和解密可以使用不同的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關系即可，這樣就避免了直接傳遞密鑰。
這種新的加密模式被稱為"非對稱加密算法"。
（1）乙方生成兩把密鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。
（2）甲方獲取乙方的公鑰，然后用它對信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私鑰解密。
如果公鑰加密的信息只有私鑰解得開，那么只要私鑰不泄漏，通信就是安全的。
1977年，三位數學家Rivest、Shamir 和 Adleman 設計了一種算法，可以實現非對稱加密。這種算法用他們三個人的名字命名，叫做RSA算法。從那時直到現在，RSA算法一直是最廣為使用的"非對稱加密算法"。毫不誇張地說，只要有計算機網絡的地方，就有RSA算法。
這種算法非常可靠，密鑰越長，它就越難破解。根據已經披露的文獻，目前被破解的最長RSA密鑰是768個二進制位。也就是說，長度超過768位的密鑰，還無法破解（至少沒人公開宣布）。因此可以認為，1024位的RSA密鑰基本安全，2048位的密鑰極其安全。
下面，我就進入正題，解釋RSA算法的原理。文章共分成兩部分，今天是第一部分，介紹要用到的四個數學概念。你可以看到，RSA算法並不難，只需要一點數論知識就可以理解。
二、互質關系
如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關系（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關系。這說明，不是質數也可以構成互質關系。
關於互質關系，不難得到以下結論：
1. 任意兩個質數構成互質關系，比如13和61。
2. 一個數是質數，另一個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關系，比如3和10。
3. 如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關系，比如97和57。
4. 1和任意一個自然數是都是互質關系，比如1和99。
5. p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關系，比如57和56。
6. p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關系，比如17和15。
三、歐拉函數
請思考以下問題：
任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？（比如，在 1 到 8 之中，有多少個數與 8 構成互質關系？）
計算這個值的方法就叫做歐拉函數，以φ(n)表示。在 1 到 8 之中，與 8 形成互質關系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的計算方法並不復雜，但是為了得到最后那個公式，需要一步步討論。
第一種情況
如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為 1 與任何數（包括自身）都構成互質關系。
第二種情況
如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關系。比如 5 與1、2、3、4 都構成互質關系。
第三種情況
如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於 1 的整數)，則
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
這是因為只有當一個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1) 個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。
上面的式子還可以寫成下面的形式：
第四種情況
如果n可以分解成兩個互質的整數之積，
n = p1 × p2
則
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即積的歐拉函數等於各個因子的歐拉函數之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
這一條的證明簡單說是這樣的：如果a與 p1 互質(a<p1)，b與 p2 互質(b<p2)，則 a×p2+b×p1 肯定與 p1p2 互質。由於a一共有φ(p1) 種取值可能，b一共有φ(p2) 個取值可能，所以φ(p1p2) 就等於φ(p1)φ(p2)。
第五種情況
因為任意一個大於 1 的正整數，都可以寫成一系列質數的積。
根據第 4 條的結論，得到
再根據第 3 條的結論，得到
也就等於
這就是歐拉函數的通用計算公式。比如，1323 的歐拉函數，計算過程如下：
四、歐拉定理
歐拉函數的用處，在於歐拉定理。"歐拉定理"指的是：
如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 可以讓下面的等式成立：
也就是說，a的φ(n)次方被n除的余數為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3 和 7 互質，而 7 的歐拉函數φ(7) 等於6，所以 3 的 6 次方（729）減去1，可以被 7 整除（728/7=104）。
歐拉定理的證明比較復雜，這里就省略了。我們只要記住它的結論就行了。
歐拉定理可以大大簡化某些運算。比如，7 和 10 互質，根據歐拉定理，
已知 φ(10) 等於4，所以馬上得到 7 的 4 倍數次方的個位數肯定是1。
因此，7 的任意次方的個位數（例如 7 的 222 次方），心算就可以算出來。
歐拉定理有一個特殊情況。
假設正整數a與質數p互質，因為質數p的φ(p)等於p-1，則歐拉定理可以寫成
這就是著名的費馬小定理。它是歐拉定理的特例。
歐拉定理是 RSA 算法的核心。理解了這個定理，就可以理解 RSA。
五、模反元素
還剩下最后一個概念：
如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說 ab 被n除的余數是1。
這時，b就叫做a的"模反元素"。
比如，3 和 11 互質，那么 3 的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被 11 整除。顯然，模反元素不止一個， 4 加減 11 的整數倍都是 3 的模反元素 {...，-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。
歐拉定理可以用來證明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
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