劍指Offer（三十一）：整數中1出現的次數（從1到n整數中1出現的次數）

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一、引子

這個系列是我在牛客網上刷《劍指Offer》的刷題筆記，旨在提升下自己的算法能力。
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二、題目

求出1~13的整數中1出現的次數,並算出1~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現5次,但是對於后面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數（從1 到 n 中1出現的次數）。

1、思路

方法1：最直觀的是，對於1~n中的每個整數，分別判斷n中的1的個數，具體見《劍指offer》。這種方法的時間復雜度為O(N*logN)，當N比較大的時候，一般會超時。

方法2：這種類別的題目，如果直觀求解不行的話，那么通常是進行找規律，轉化成一個數學問題。這道題目在《編程之美》上有着比較詳細的描述，下面就結合一個實例進行具體的分析：

在分析之前，首先需要知道一個規律：

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，數字1出現了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，數字1出現了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的百位數中，數字1出現了 100 次。
  依此類推，從 1 至 10i，在它們右數第二位中，數字1出現了10 ^ (i - 1)次。

對於 n = 2134,要找到從1 ~ 2134這2134個數字中所有1的個數。我們可以對2134進行逐位分析：

(1)在個位上，從1~2130，包含213個10，因此數字1出現了213次，剩下的數字2131、2132、2133、2134中個位數上只有2131包含樹脂字1，剩下的都不包含。所以個位數上的數字1的總數為213 + 1 = 214。

(2)在十位上，從1 ~ 2100，包含了21個100，因此數字1出現了21 * 10 = 210次，剩下的數字從2101 ~ 2134，只有2110 ~ 2119這10個數字中十位的數字為1，所以十位上的數字1的總數為210 + 10 = 220。

(3)在百位上，從1 ~ 2000，包含了2個1000，因此數字1出現了2 * 100 = 200次，剩下的數字從2001 ~ 2134，只有2100 ~ 2134這35個數字中的百位的數字為1，所以百位數上數字1的總數為200 + 35= 235。

(4)在千位上，包含了0個10000，因此數字1出現了0 * 1000 = 0次，剩下的數字中只有1000 ~ 1999這1000個數字中的千位的數字為1，所以千位上的數字1的總數為1000。

因此從1 ~ 2134這n個數字中，數字出現的總的次數為 214 + 220 + 235 +1000 = 1669。

總結一下以上的步驟，可以得到這么一個規律：

對於數字n，計算它的第i(i從1開始，從右邊開始計數)位數上包含的數字1的個數：

假設第i位上的數字為x的話，則

1.如果x > 1的話，則第i位數上包含的1的數目為：(高位數字 + 1）* 10 ^ (i-1) (其中高位數字是從i+1位一直到最高位數構成的數字)

2.如果x < 1的話，則第i位數上包含的1的數目為：(高位數字 ）* 10 ^ (i-1)

3.如果x == 1的話，則第i位數上包含1的數目為：(高位數字) * 10 ^ (i-1) +(低位數字+1) (其中低位數字時從第i - 1位數一直到第1位數構成的數字)

2、編程實現

python

代碼實現方案：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        if n < 1:
            return 0
        # mult位數 sumTime出現1的次數和
        mult, sumTimes = 1, 0
        while n//mult:
            div, mod = divmod(n, mult*10)
            curNum, curMod = divmod(mod, mult)
            if curNum > 1:
                sumTimes += div*mult + mult
            elif curNum == 1:
                sumTimes += div*mult + curMod + 1
            else:
                sumTimes += div*mult
            mult = mult*10
        return sumTimes

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