整數中1出現的次數(從1到n整數中1出現的次數)
題目描述
求出1 ~ 13的整數中1出現的次數,並算出100 ~ 1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1 ~ 13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於后面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。
規律( 1 的數目)
如果第 i 位(自右向左，從1開始標號)上的數字是0，則第 i 位可能出現 1 的次數由更高位決定(若沒有高位，則視高位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重(10i-1)
如果第 i 位上的數字為 1，則第 i 位上出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響(若沒有低位，視低位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重 (10i-1) + (低位數 + 1)
如果第 i 位上的數字大於 1，則第 i 位上可能出現 1 的次數僅由更高位決定(若沒有高位，視高位為0)，等於(更高位數 + 1)乘以當前位數的權重 (10i-1)
規律(x 的數目)
這里的 x 屬於[1, 9]， 因為 x = 0 不符合下列規律，需要單獨計算
首先要知道以下規律
- 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 x 都出現了 1 次
- 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 x 都出現了 10 次
- 從1至1000，在它們的百位數中，任意的x都出現了100次
- 依次類推，從 1 至 10i，在它們的左數第二位(右數第 i 位)，任意的 x 都出現了 (10i-1)次。這個規律很容易驗證，這里不再多做說明
接下以 n = 2593, x = 5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259次出現在個位，260次出現在十位，294次出現在百位，0次出現在千位
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現在依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 x 都出現了 259 次。最后剩余的三個數 2531,2592,2593，因為它們最大的個位數字 3 < x。因此不會包含任何 5. (也可以這么看， 3 < x， 則個位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字 (259) * 101-1 = 259)。
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然后是十位。從 1 至 2500中，包含了25個100，因此任意的 x 都出現了 25 * 10 = 250 次。剩下的數字從 2501 至 2593，它們最大的十位數是 9 > x，因此會包含全部 10 個 5。最后總計 250 + 10 = 260。(也可以這么看，9 > x，則十位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字(25 + 1) * 102-1 = 260)
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接下來是百位。從1至2000中，包含了2個1000，因此任意x都出現了2 * 100 = 200次。剩下的數字從2001至2593，它們最大的百位數字5 == x，這時候情況就略微復雜，它們的百位肯定是包含5的，但是不會包含全部100個。如果把百位是5的列出來，是從2500至2593，數字的個數與十位和個位數字有關，是93 + 1 = 94。最后總計 200 + 94 = 294。(也可以這么看， 5 == x，則百位上可能出現的x次數不僅受跟高位影響，還受低位影響，等於更高位數字 2 * 103-1 + (93 + 1))
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最后是千位，現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < x，因此不會包含任何 5 。(也可以這么看，2 < x，則千位上可能出現的x的次數僅由更高位決定，等於更高位數字 0 * 104-1 = 0)
到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。
總結
總結一下以上的算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 x 的個數時：
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取第 i位左邊(高位)的數字，乘以 10i-1，得到基礎值 a
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取第 i 位數字，計算修正值
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如果大於 x , 則結果為 a + 10i-1
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如果小於 x，則結果為 a
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如果等於 x，則取第 i 位右邊(低位)數字，設為 b，最后結果為 a + b + 1
代碼
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
if(n < 1) return 0;
if(n < 9) return 1;
int high = 0;
int k = 0;
int cur = 0;
int count = 0;
for(int i = 1; k = n / i; i *= 10){
high = k / 10;
count += high * i;
cur = k % 10;
if(cur > 1)
count += i;
else if(cur == 1)
count += n - k * i + 1;
}
return count;
}
};