計算1至n中數字X出現的次數

參考文獻：http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html

一、1的數目

編程之美上給出的規律：

1. 如果第i位（自右至左，從1開始標號）上的數字為0，則第i位可能出現1的次數由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於更高位數字X當前位數的權重10^i-1。

2. 如果第i位上的數字為1，則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響（若沒有低位，視低位為0），等於更高位數字X當前位數的權重10^i-1+（低位數字+1）。

3. 如果第i位上的數字大於1，則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於（更高位數字+1）X當前位數的權重10^i-1。

二、X的數目

這里的 X∈[1,9]，因為 X=0 不符合下列規律，需要單獨計算。

首先要知道以下的規律：

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的百位數中，任意的 X 都出現了 100 次。

依此類推，從 1 至 10ⁱ，在它們的左數第二位（右數第 i 位）中，任意的 X 都出現了 10ⁱ⁻¹ 次。

這個規律很容易驗證，這里不再多做說明。

接下來以 n=2593,X=5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。

現在依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 X 都出現了 259 次。最后剩余的三個數 2591, 2592 和 2593，因為它們最大的個位數字 3 < X，因此不會包含任何 5。（也可以這么看，3<X，則個位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（259）X10^1-1=259）。

然后是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，因此任意的 X 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，因此會包含全部 10 個 5。最后總計 250 + 10 = 260。（也可以這么看，9>X，則十位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（25+1）X10^2-1=260）。

接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 X 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時情況就略微復雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最后總計 200 + 94 = 294。（也可以這么看，5==X，則百位上可能出現X的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等於更高位數字（2）X10^3-1+（93+1）=294）。

最后是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < X，所以不會包含任何 5。（也可以這么看，2<X，則千位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（0）X10^4-1=0）。

到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。

總結一下以上的算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 X 的個數時：

1. 取第 i 位左邊（高位）的數字，乘以 10ⁱ⁻¹，得到基礎值 a。
2. 取第 i 位數字，計算修正值：
   1. 如果大於 X，則結果為 a+10ⁱ⁻¹。
   2. 如果小於 X，則結果為 a。
   3. 如果等 X，則取第 i 位右邊（低位）數字，設為 b，最后結果為 a+b+1。

相應的代碼非常簡單，效率也非常高，時間復雜度只有 O(log₁₀n)。

三、上代碼

 

    /**
     * @param n
     * @param x [1,9]
     * @return
     */
    public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
        if(n<0||x<1||x>9)
            return 0;
        int high,low,curr,tmp,i = 1;
        high = n;
        int total = 0;
        while(high!=0){
            high = n/(int)Math.pow(10, i);// 獲取第i位的高位
            tmp = n%(int)Math.pow(10, i);
            curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 獲取第i位
            low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 獲取第i位的低位
            if(curr==x){
                total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;
            }else if(curr<x){
                total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);
            }else{
                total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);
            }
            i++;
        }
        return total;        
    }

 

四、X=0的情況（待續）