最近在看《劍指Offer》，面試題32的題目：輸入一個整數n，求從1到n這n個整數的十進制表示中1出現的次數。例如輸入12，從1到12這些整數中包含1的數字有1、10、11和12，1一共出現了5次。
對於書中說的不考慮時間效率的解法很好理解，可以直接完成，但是對於書中介紹的另一種方法，沒有理解，於是按照自己的思路進行了分析。
1位數，1-9中，1一共出現了1次；
2位數，10-99中，10-19的十位上一共出現了10*1=10次，對於每個十位開頭的數字10-19、20-29，每個數個位上出現的是1-9中1出現的次數，共有9個區間9*1=9次；
3位數，100-999，100-199百位上出現了10**2=100次，對於每個百位數開頭，例如100-199，200-299，低位上其實就是0-99這個區間上1出現的次數，一共9個區間 9*19=171次；
由此推測，對於1-9，10-99，100-999，每個n位數中包含1的個數公式為：
f(1) = 1
f(2) = 9 * f(1) + 10 ** 1
f(3) = 9 * f(2) + 10 ** 2
f(n) = 9 * f(n-1) + 10 ** (n-1)
通過以上分析，我們可以確定對於任意一個給定的數，例如23456這個5位數，10000之前的數中包含的個數是確定的了，為f(1)+f(2)+f(3)+f(4),這是一個遞歸的過程，對此可以求出1-4位中包含1的總數，函數如下所示：
1 def get_1_digits(n): 2 """ 3 獲取每個位數之間1的總數 4 :param n: 位數 5 """ 6 if n <= 0: 7 return 0 8 if n == 1: 9 return 1 10 current = 9 * get_1_digits(n-1) + 10 ** (n-1) 11 return get_1_digits(n-1) + current
通過上面的分析，我們知道了23456中，1-10000之間一共出現了多少個1.下一步需要分析10000-23456中包含的1.
我們首先把最高位單獨拿出來分析一下，求出最高位上1的個數，如果最高位是1，則最高位上一共會出現的1的次數是低位上數字+1，例如12345，最高位上一共出現了2346個1；如果最高位大於1，則會一共出現的次數是10000-19999一共10**4個數。
然后，根據最高位的不同，計算出該高位前面的相同位數范圍中的所有數中1的個數。例如對於34567，需要計算出10000-19999，20000-29999中一的個數，這時候計算一的個數，也就是計算0-9999中1的個數，這就可以轉化成上面的f(n)來計算了，調用上面函數可以直接得到，然后用得到的值和最高位和1的差值（這里最高位是3）相乘就可以了。
分析完上面的部分后，我們現在只剩下最高位后面的部分了，我們發現剩下的部分還是一個整數，例如23456剩下了3456，這時候直接使用遞歸處理剩下的3456就行了。具體代碼如下：
1 def get_1_nums(n): 2 if n < 10: 3 return 1 if n >= 1 else 0 4 digit = get_digits(n) # 位數 5 low_nums = get_1_digits(digit-1) # 最高位之前的1的個數 6 high = int(str(n)[0]) # 最高位 7 low = n - high * 10 ** (digit-1) # 低位 8 9 if high == 1: 10 high_nums = low + 1 # 最高位上1的個數 11 all_nums = high_nums 12 else: 13 high_nums = 10 ** (digit - 1) 14 all_nums = high_nums + low_nums * (high - 1) # 最高位大於1的話，統計每個多位數后面包含的1 15 return low_nums + all_nums + get_1_nums(low)
對於上面使用的get_digits函數，是用來求給定的n是幾位數的。代碼如下：
1 def get_digits(n): 2 # 求整數n的位數 3 ret = 0 4 while n: 5 ret += 1 6 n /= 10 7 return ret
為了比較運行的效率，我用每次遍歷循環每個數中1的個數的方法進行了次數比較，發現使用以上方法效率提高了很多的，給定的數越大，效率提升越明顯。常規解法如下：
1 def test_n(num): 2 # 常規方法用來比較 3 ret = 0 4 for n in range(1, num+1): 5 for s in str(n): 6 if s == '1': 7 ret += 1 8 return ret
使用下面的代碼進行了測試，發現效率提升非常明顯：
1 if __name__ == '__main__': 2 test = 9923446 3 import time 4 t = time.clock() 5 print test_n(test) 6 print time.clock() - t 7 t1 = time.clock() 8 print get_1_nums(test) 9 print time.clock() - t1
運行結果如下，發現運行速率提升了很多很多倍：
6970095 18.284745 6970095 0.000223999999999
對於該問題的實現源代碼，請在這里獲取。