多項分布定義
某隨機實驗如果有\(k\)個可能結局\(A_1, A_2, \cdots,A_k\)，分別將他們的出現次數記為隨機變量\(X_1,X_2,\cdots,X_k\)，它們的概率分布分別是\(p_1,p_2,\cdots,p_k\)，那么在\(n\)次采樣的總結果中，\(A_1\)出現\(n_1\)次、\(A_2\)出現\(n_2\)次、…、\(A_k\)出現\(n_k\)次的這種事件的出現概率\(P\)有下面公式:
| \(k\)個可能的結果 | \(A_1\) | \(A_2\) | \(\cdots\) | \(A_k\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 每個結果出現的次數 | \(X_1\) | \(X_2\) | \(\cdots\) | \(X_k\) | |
| 每個結果可能的概率 | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_k\) | |
| 采樣\(n\)次 | |||||
| \(n_1\) | \(n_2\) | \(\cdots\) | \(n_k\) | \(\sum_{i=1}^n n_i = n\) | |
| \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_k\) | \(\sum_{i=1}^n x_i = n\) |
\[\bm{P}(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \]