多项分布定义
某随机实验如果有\(k\)个可能结局\(A_1, A_2, \cdots,A_k\)，分别将他们的出现次数记为随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_k\)，它们的概率分布分别是\(p_1,p_2,\cdots,p_k\)，那么在\(n\)次采样的总结果中，\(A_1\)出现\(n_1\)次、\(A_2\)出现\(n_2\)次、…、\(A_k\)出现\(n_k\)次的这种事件的出现概率\(P\)有下面公式:
| \(k\)个可能的结果 | \(A_1\) | \(A_2\) | \(\cdots\) | \(A_k\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 每个结果出现的次数 | \(X_1\) | \(X_2\) | \(\cdots\) | \(X_k\) | |
| 每个结果可能的概率 | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_k\) | |
| 采样\(n\)次 | |||||
| \(n_1\) | \(n_2\) | \(\cdots\) | \(n_k\) | \(\sum_{i=1}^n n_i = n\) | |
| \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_k\) | \(\sum_{i=1}^n x_i = n\) |
\[\bm{P}(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \]