【概率論】5-9:多項式分布(The Multinomial Distributions)

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title: 【概率論】5-9:多項式分布(The Multinomial Distributions)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Multinomial Distributions
toc: true
date: 2018-04-04 22:17:23

Abstract: 本文介紹多項式分布的相關知識
Keywords: The Multinomial Distributions

開篇廢話

生病的時候才會體會到人生的短暫和生命的含義，你可以選擇自己的生活，也可以選擇自己的快樂，一切都是正確的。
本文開始介紹多於一個變量的分布，其實分布我們已經學了不少了后面再講一個雙變量的正態分布本章就算結束了，主要學的就是如何使用前面學到的工具來對新的隨機變量的性質進行分析。今天我們來分析多項式分布。
多項式是二項分布的一個擴展。

Definition and Derivation of Multinomial Distribution

把二項分布中的兩個變量擴展成多個變量，就能得到我們我們今天要介紹的多項式分布，而且遵守和二項式分布一樣的放回的采樣方式（with replacement），在計數方法中我們也學過多項式系數這個知識，與我們今天要說的多項式分布是緊密相關的，比如我們舉個例子：
人類的血型可以分為 A，B，o，AB 四種類型，每種類型都有相應的比例（這個比例是從所有人的類型中統計計算出來的）現在才去放回式的抽樣，假設我們抽取了若干個樣本，得到隨機變量的向量為： $\vec{x}=(X_A,X_B,X_o,X_{AB})$ 對應的概率為 $\vec{p}=(p_A,p_B,p_o,p_{AB})$ 那么我們可以根據多項式系數的相關知識得到其分布：
$f(\vec{x}|4,\vec{p})=Pr(X_A=x_1,X_B=x_2,X_o=x_3,X_{AB}=x_4)\\ =\begin{cases} \begin{pmatrix} &n&\\ x_1&x_2&x_3&x_4 \end{pmatrix}p_A^{x_1}p_B^{x_2}p_o^{x_3}p_{AB}^{x_4}&\text{if } x_1+x_2+x_3+x_4=n\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$

這就是多項式系數的擴展，稱為多項式分布的的樣子，對應於多個隨機變量，隨機變量的個數為固定值。可以寫成一下形式：
$f(\vec{x}|n,\vec{p})= \begin{cases} \begin{pmatrix} &n&\\ x_1&\dots&x_k \end{pmatrix}p_1^{x_1}\dots p_{k}^{x_k}&\text{if } x_1+\dots+x_k=n\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}\tag{5.9.1}$

Definition Multinomial Distributions.A discrete random vector $\vec{X}=(X_1,\dots,X_k)$ whose p.f. is given Eq(5.9.1) has the multinomial distribution with parameters $n$ and $\vec{p}=(p_1,\dots,p_k)$ .

這個定義看起來沒什么，而且上面的例子也給出了多項式分布的一般用法，接下來我們就說說多項式分布和二項分布的關系。

Relation between the Multinomial and Binomial Distributions

Theorem Suppose that the random vector $\vec{X}=(X_1,X_2)$ has the multinomial distribution with parameters $n$ and $\vec{p}=(p_1,p_2)$ .Then $X_1$ has the binomial distribution with parameters $n$ and $p_1$ ,and $X_2=n-X_1$

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