概率論 - 正態分布
正態分布具有一些有用的性質。
正態分布和標准正態分布的轉換
引理
若隨機變量 \(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，則 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\backsim N(0,1)\)
證明
由\(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，得 \(P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
而 \(P(Z\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x)=P(X\leq x\sigma+\mu)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x\sigma + \mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)
記 \(F(x)=P(X\leq x)\)，\(H(x)=P(Z\leq x)\)，
則有
\(H(x)=F(x\sigma+\mu)\)
兩邊關於 \(x\) 取導，有：
\(h(x)=\sigma f(x\sigma+\mu)\)
\(=\sigma (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)'\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
\(=\varphi(x)\)
得證。
結論
若一個隨機變量符合正態分布，那么它的標准化變量服從標准正態分布。
正態分布的性質
內容源見引用。[1]
- \(n\) 維正態隨機變量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 的每一個分量 \(X_i\) 都是正態隨機變量；反之，若 \(X_1,X_2,...,X_n\) 都是正態隨機變量，且相互獨立，則 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 是 \(n\) 維正態隨機變量。
- \(n\) 維隨機變量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服從 \(n\) 維正態分布的充要條件是 \(X_1,X_2,...,X_n\) 的任意線性組合 \(l_1X_1+l_2X_2+...+l_nX_n\) 服從一維正態分布（其中 \(l_1,l_2,...,l_n\) 不全為零）。
- 若 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服從 \(n\) 維正態分布，設 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 是 \(X_j\) 的線性函數，則 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 也服從多維正態分布。（正態變量的線性變換不變性）
- 設 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服從 \(n\) 維正態分布，則 \(X_1,X_2,...,X_n\) 相互獨立與 \(X_1,X_2,...,X_n\) 兩兩不相關等價。
舉例：
-
設 \(X_1,X_2\) 為來自 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的簡單隨機樣本，則
- 對 \(Y=X_1+X_2\) ，有 \(E(Y)=2\mu\) ，\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
證：\(E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\)，\(D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)\) 。
- 對 \(Y=X_1-X_2\) ，有 \(E(Y)=0\) ，\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
證：\(E(X_1-X_2)=E(X_1)+E(-X_2)=0\)，\(D(X_1-X_2)=D(X_1)+D(-X_2)=2\sigma^2\) 。
- 對 \(Y=X_1+X_2\) ，有 \(E(Y)=2\mu\) ，\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
-
（2019考研數學一）設 \(X,Y\) 相互獨立，且都服從正態分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) ，則 \(P\{|X-Y|<1\}\) ：與 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 是否有關？
解：\(Z=X-Y\) ，\(E(Z)=0,D(Z)=2\sigma^2\) ，由正態分布的線性組合仍服從正態分布，故 \(Z\sim N(0,2\sigma^2)\) ，即 \(\frac{Z-0}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)\) ，而 \(P\{|Z|<1\}=P\{-1<Z<1\}=P\{\frac{-1}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\}=2\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma})-1\) ，即僅僅與 \(\sigma^2\) 有關。
《概率論與數理統計·第四版》，浙江大學 盛驟 謝式千 潘承毅，高等教育出版社 ↩︎