【概率論】5-10:二維正態分布(The Bivariate Normal Distributions)

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title: 【概率論】5-10:二維正態分布(The Bivariate Normal Distributions)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Bivariate Normal Distributions
toc: true
date: 2018-04-05 22:03:55

Abstract: 本文介紹第一個多變量連續分布——雙變量正態分布(本篇內有未證明定理，需要后續要補充 )
Keywords: The Bivariate Normal Distributions

開篇廢話

今天的廢話想說說我們周圍會有各種各樣的事，各種各樣的誘惑，各種各樣的理由來告訴我們讀書學習很苦而不學習也可以活的很好，但是堅持還是放棄只能選擇一次，所以要慎重，開弓沒有回頭箭，放棄學習，就相當於放棄了一條抗爭的路。

萬般皆下品惟有讀書高

今天我們來研究雙變量的正態分布，多變量，連續分布。
對於某些研究者，可能用正態分布來非常好的描述某個隨機變量，那么如果我們有兩個隨機變量，都可以用正態分布描述，而且他們之間存在關系，這時候我們就可以用一個雙變量正態分布來描述了這兩個變量之間的關系，並且這個二維分布的邊緣分布，還是這兩個隨機變量單變量的分布。5.6中 我們介紹了某些有正態分布的獨立隨機變量的線性組合還是正態分布。但是雙變量正態分布（聯合分布）可以是相關的。

Definition and Derivation of Bivariate Normal Distributions

Theorem Suppose that $Z_1$ and $Z_2$ are independent random variables,each of which has the standard normal distribution.Let $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2$ ,and $\rho$ be constants such that $-\infty<\mu_i<\infty(i=1,2)$ , $\sigma_i>0(i=1,2)$ ,and $-1<\rho<1$ . Define two new random variables $X_1$ and $X_2$ as follows:
$X_1=\sigma_1Z_1+\mu_1\\ X_2=\sigma_2[\rho Z_1+(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}Z_2]+\mu_2 \tag{5.10.1}$
The joint p.d.f. of $X_1$ and $X_2$ is
$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2]} \tag{5.10.2}$

上面這個定理的證明需要定理3.9.5 ，而定理3.9.5是個選證題，也就是說會在我們后面的高級課程中進行證明，所以這個定理也就沒法證明了，在證明了3.9.5 以后，我們會對此定理進行證明。

Theorem Suppose that $X_1$ and $X_2$ have the joint distribution whose p.d.f. is given by Eq.(5.10.2) Then there exist independent standard normal random variables $Z_1$ and $Z_2$ such that Eqs (5.10.1) hold .Also,the mean of $X_i$ is $\mu_i$ and the variance of $X_i$ is $\sigma_i^2$ for $i=1,2$ .Furthermore the correlation between $X_1$ and $X_2$ is $\rho$ .Finally,the marginal distribution of $X_i$ is the normal distribution with mean $\mu_i$ and variance $\sigma_i^2$ for $i=1,2$

此定理的證明也需要 3.9.5 的結論，所以我們目前只做不嚴謹的推理，兩個聯合分布如5.10.2，那么他們中的一個隨機變量的分布（也就是聯合變量的邊緣分布）就是一個正態分布。均值和方差可求。

Definition Bivariate Normal Distributions.When the joint p.d.f. of two random variables $X_1$ and $X_2$ is of the form in Eq(5.10.2),it is said that $X_1$ and $X_2$ have the bivariate normal distribution with mean $\mu_1$ and $\mu_2$ variance $\sigma_1^2$ and $\sigma_2^2$ ,and correlation $\rho$

以上就是第一部分要講的內容，兩個沒證明的定理，和一個定義，這篇文章看起來有點水，確實是這樣，但是如果沒有知識又不完全，算是個占位符，但是雙變量正態分布這個用途確實太多了，舉個最簡單的例子，我們的身高體重，就經常用雙變量的正態分布來建模。

Properties of Bivariate Normal Distributions

完整原文地址：https://www.face2ai.com/Math-Probability-5-10-The-Bivariate-Normal-Distributions轉載請標明出處