概率的二項分布和多項分布

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概率的二項分布和多項分布

本章用到了概率論中的二項分布和多項分布公式，這里做簡要說明。

一個事件必然出現，就說它100%要出現。100%=1，所以100%出現的含義就是出現的概率P=1。

即必然事件的出現概率為1。

二項分布

如果擲一枚硬幣，正面向上的結局的概率為0.5 。反面向上的結局的概率也是0.5 。那么出現正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ，即二者必居其一。

如果擲兩次硬幣，根據獨立事件的概率乘法定理那么兩次都是正面（反面）向上的概率是0.5×0.5=0.25。另外第一個是正第二個是反的出現概率也是0.5×0.5=0.25。同理第一個反第二個正的出現概率也是0.5×0.5=0.25。於是一正一反的概率是前面兩個情況的和，即0.25+0.25=2×0.25=0.5 。它們的合計值仍然是1。列成表就是：

兩個正面的概率	一正一反的概率	兩個反面的概率
0.25	2×0.25=0.5	0.25

　

注意到代數學中

(a+b)²=a²+2ab+b²,

而在a=0.5，b=0.5時，有

1²=(0.5+0.5)²=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1

這說明擲兩次硬幣的各個結局的出現概率可以通過對二項式的平方展開而得到。順此，對於擲n次硬幣的各種結局的出現概率也可以通過對二項式的n次方的展開而得到。

例如n=3時,有（注意0.5×0.5×0.5=0.125）

1³=(0.5+0.5)³=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125=

0.125+0.375+0.375+0.125=1

上式4項中的4個概率值0.125、0.375、0.375、0.125分別對應於3正、2正1反、1正2反和3反，這四種結局。

注意到對二項式的展開的牛頓公式：

(a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+…+[n!/m!(n-m)!](aⁿ-^mb^m)+…bⁿ

把a，b分別等於0.5代入上式我們就得到n+1項，以其通項而論，它就代表了有n-m個正面m個反面的事件的出現概率。即這種類型的問題（如擲多次硬幣）的概率分布恰好可以用二項式展開的牛頓公式表示。而這也就是為什么把這種概率分布類型稱為二項分布的原因。

如果a，b並不等於0.5，那么只要把A事件出現的概率以p代入，把B事件的出現概率以(1-p)代入，以上公式仍然正確，（a+b仍然=1）。

所以對於僅有A，B兩個結局的隨機事件，如果A事件出現概率為p，B事件的出現概率為1-p，那么在n次隨機實驗中A事件出現n-m 次B事件出現m次的情況（對應一種復合事件）的出現概率P應當是(這里的P是大寫的)

P=[n!/m!(n-m)!][p^n-m(1-p)^m]

注意到上面公式的對稱性，它也可以寫為

P=[n!/m!(n-m)!][p^m(1-p)^n-m]

它就是所謂二項分布概型的隨機事件的出現概率公式，也是牛頓二項式展開在變量為對應概率值的情況下的通項。它就是本章公式（11.3）的由來。

另外，當p=0.5時，顯然[p^m(1-p)^n-m]總是等於1/(2)ⁿ,注意到[p+（1-p）]ⁿ=1，所以二項式公式展開的n+1項的各個系數的合計值應當等於2ⁿ。即

上式中並沒有p，所以這個系數和公式與p的具體數值無關。一般概率圖書中對二項分布多有介紹。

多項分布

把二項分布公式再推廣，就得到了多項分布（在一般概率書中很少介紹它，但是熱力學中涉及到它）。

某隨機實驗如果有k個可能結局A₁，A₂，…，A_k，它們的概率分布分別是p₁，p₂，…，p_k，那么在N次采樣的總結果中，A₁出現n₁次，A₂出現n₂次，…，A_k出現n_k次的這種事件的出現概率P有下面公式：

這就是多項分布的概率公式。把它稱為多項式分布顯然是因為它是一種特殊的多項式展開式的通項。

我們知道，在代數學里當k個變量的和的N次方的展開式 (p₁+ p₂+…+ p_k )^N是一個多項式，其一般項就是前面的公式給出的值。如果這k 個變量恰好是可能有的各種結局的出現概率，那么，由於這些概率的合計值對應一個必然事件的概率。而必然事件的概率等於1，於是上面的多項式就變成了

(p₁+ p₂+…+ p_k )^N =1^N=1

即此時多項式的值等於1。

因為(p₁+ p₂+…+ p_k )^N的值等於1。我們也就認為它代表了一個必然事件進行了N 次抽樣的概率（=1，必然事件）。而當把這個多項式可以展開成很多項時，這些項的合計值等於1提示我們這些項是一些互不相容的事件（N次抽樣得到的）的對應概率。即多項式展開式的每一項都是一個特殊的事件的出現概率。於是我們把展開式的通項作為A₁出現n₁次，A₂出現n₂次，…，A_k出現n_k次的這種事件的出現概率。這樣就得到了前面的公式。

如果各個單獨事件的出現概率p₁，p₂，…，p_k都相等，即p₁=p₂=…=p_k=p（注意這里是小寫的p），

注意到p₁+p₂+…+p_k =1，就得到p₁= p₂ =…=p_k =p=1/k 。

把這個值代入多項式的展開式，就使展開式的各個項的合計值滿足下式：

∑[ N!/(n₁!n₂!…n_k!)](1/k)^N=1

即∑[ N!/(n₁!n₂!…n_k!)]=k^N

以上求和中遍及各個n_i的一切可能取的正整數值，但是要求各個n_i的合計值等於N 。   即

n₁+n₂+…n_k=N

在熱力學討論物質微觀狀態的可能個數時，經常用另外的思路引出N!/(n₁!n₂!…n_k!)式。並且稱它為熱力學幾率。它是一個比天文數字還大很多的數，把它稱為幾率（概率）並不妥當。但是熱力學里由於各個微觀狀態的出現概率相等，這對應我們在前面討論的p₁= p₂ =…=p_k =p=1/k，於是

[N!/(n₁!n₂!…n_k!)]（1/k^N）

就真正具有數學上的概率的含義。換句話說，物理學里的熱力學幾率[N!/(n₁!n₂!…n_k!)]乘上（1/k^N）以后就是數學中定義的（具有歸一性）的概率了。