主要參考一般測度論和Brezis的泛函分析第4章.
$L^p$ 空間 對於pde來講是非常重要的空間，它的性質也是非常豐富的（特別是強收斂，弱收斂等性質），一般散落於各種文獻之中，現在趁着教實分析的機會將他們熔之一爐，方便查閱。 為簡單起見，以下總假定 $\Omega$為區域。
1. 對於任意的 $f\in L^p(\Omega)$，$p>0$, $0<|\Omega|<\infty$, $\Phi(f,p)=\Big(\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}|f|^pdx\Big)^{\frac{1}{p}}$關於 $p$ 單調遞增。(事實上對於$p\in (-\infty,\infty)$都是單調遞增的。)
2. 如果$|\Omega|<\infty$，$f\in L^{\infty}(\Omega)$, 則必有 $\lim_{p\rightarrow \infty}||f||_{L^p(\Omega)}=||f||_{L^\infty(\Omega)}$.
3. 對任意的$\lambda>0$, 分布函數滿足切比雪夫不等式或者Markov不等式: $|\{f>\lambda\}|\leq \int_{\Omega}\frac{|f(x)|^p}{\lambda^p}dx$
4. 設$f$是$\Omega$上的可測函數，對任意的$\alpha>0$定義分布函數 $\lambda_f(\alpha)=|\{x\in\Omega: |f(x)|>\alpha\}|$， 則對任意的$1\leq p<\infty$,
$$\int_{\Omega}|f(x)|^pdx=\int_{0}^{\infty}p\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha=-\int_{0}^{\infty}\alpha^{p}d\lambda_{f}(\alpha)a.$$
本質上可以從$p=1$來看上述式子，其他情況相當於$p=1$時做變量替換即可，此時第二個式子即為所謂的層餅定理，第三個式子完全可以看成Lebegue積分的原始定義。
實際上$L^p(\Omega)$ 也完全隱藏在分布函數中，這是后來做$Marcinkiewicz$內插定理，$C-Z$估計的基本觀察。
5. 設$\phi:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$, \phi 在任意的$[0,T]$絕對連續，$\phi(0)=0$, 則 $\int_{\Omega}\phi(|f(x)|)dx=\int_{0}^{\infty}\phi'(\alpha)\lambda_{f}(\alpha)d\alpha.$
6.如果對任意的$p>>1$, (實際只需要一串趨近於正無窮大的$\{p_n\})$ , $f\in L^p(\Omega)$ , 且存在$M>0$ 使得， $||f||_{L^p(\Omega)}\leq M$, 則必有 $f\in L^{\infty}(\Omega)$,
且$||f||_{L^p(\Omega)}\leq M$. (此處可不用假設$\Omega$的測度有限還是無限，可直接研究其分布函數並用切比雪夫不等式即可。)
7. $L_{loc}^p(\Omega)$: 此空間不是可賦范的，但他可以定義可數半模，進而可度量化，為度量空間. 設$f$是$\Omega$上的可測函數.如何從$f\in L_{loc}^p(\Omega)$ 推出 $f\in L^p(\Omega)$ 呢？ 當且僅當存在$M>0$ s.t. $||f||_{L^p(\Omega')}\leq M$, 對任意的$\Omega'\subset\subset \Omega$. 證明用Levi單調收斂定理。
8. (Radon-Riesz) $1<p<\infty$, $f_n\in L^p(\Omega)$, $f\in L^p(\Omega)$， 若 $f_n\rightarrow f$ weak in $L^{p}(\Omega)$, $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n||_{L^p (\Omega)}=||f||_{L^p (\Omega)}$, 則 $f_n\rightarrow f$ in $L^p(\Omega)$.
9. $(L^1(\Omega))'$ 同構與 $(L^\infty(\Omega))^*$; $\forall 1<p<\infty$, $(L^p(\Omega))^*$ 同構與 $(L^q(\Omega))'$, 其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$; $(L^\infty(\Omega))^*$是什么？可交換$C^*$代數，可參看 Yosida或者Rudin的泛函分析。
10. $\forall 1<p<\infty$, $L^p(\Omega)$ 為可分、自反、 一致凸Banach空間。
$L^1(\Omega)$ 為可分Banach空間。 $L^\infty(\Omega)$ 為不可分Banach空間。
11. $1<p<\infty$, $L^p$ 中的有界序列必有弱收斂子列。
$L^\infty$ 中的有界序列必有弱$*$收斂子列。 證明用 Cantor對角線法。 再推廣則為所謂的$弱*列緊$。
12. (Brezis-Lieb)$1<p<\infty$, 序列 ${f_n}$和$f$都屬於$L^p$ 。
若 $f_n\rightarrow f$ $a.e$ $\Omega$, $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n||_{L^p (\Omega)}=||f||_{L^p (\Omega)}$, 則 $f_n\rightarrow f$ in $L^p(\Omega)$.
13.(Banach-Saks) $1<p<\infty$, 序列 ${f_n}$和$f$都屬於$L^p$ 。 若 $f_n\rightarrow f$ weak in $L^p(\Omega)$, 則$\frac{f_{n,k_1}+......+f_{n,k_n}}{n}\rightarrow f$ in $L^p(\Omega)$.
Mazur推廣了上述定理。改為凸組合。
14. 設$1<p<\infty$, 序列$\{f_n(x)\}$是$L^p(\Omega)$中的范數一致有界序列. 如果 $f_n\rightarrow f$ pointwise a.e. $\Omega$，則$f_n\rightarrow f$ weakly in $L^p(\Omega)$. 此處 $f_n\rightarrow f$ pointwise a.e. $\Omega$ 可替換為$f_n\rightarrow f$ in measure. 事實上，3個基本收斂定理均可將幾乎處處收斂替換為依測度收斂。