二叉樹總結(一)概念和性質

一、樹的概念

樹是一些點的集合，這個集合可以為空，若不為空，則它是由一個根節點和0個或多個為空的子樹組成，且每個子樹都被一條來自根節點的有向邊相連。

樹葉：沒有兒子的節點；兄弟：具有相同父親的節點；類似還有祖父和孫子節點。

路徑：節點n1，n2，n3，...，nk的一個序列，使得對於1 <= i <= k節點ni是ni+1的父親；路徑的長為路徑上邊的數量，即K+1。

深度：某節點的深度為樹根到該節點的唯一路徑的長度。

層次：深度相同的節點在同一層中，深度值為層數。

樹高度：葉節點的深度最大值。

樹寬度：樹的各層中節點數最多的一層的節點數為樹的寬度。

無序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是不重要的，可以交換位置。

有序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是重要的, 不可以交換位置。

森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。

二叉樹：一種特殊的樹，每個雙親的孩子數不超過2個（0個，1個或2個），提供對元素的高效訪問。有左孩子和右孩子。

退化樹：樹中只有一個葉子結點，每個非葉子結點只有一個孩子。一顆退化樹等價於一個鏈表。

樹的節點結構為： 

struct TreeNode{ 
    TYPE element;//該節點的元素 
    TreeNode *firstChild;//指向該節點的第一個孩子 
    TreeNode *nextSibling;//指向該節點的兄弟節點 
};

    

上面的左邊的圖是一顆樹，右邊是它的第一個兒子/下一個兄弟的表示法。

樹的遍歷分為先序遍歷：先根節點，再左孩子，最后右孩子；后序遍歷：先左孩子，再右孩子，最后樹根；層次遍歷：一層一層的遍歷。

上面的樹的先序遍歷：ABCDHEIJPQFKLMGN；后序遍歷：BCHDIPQJEKLMFNGA。

二、二叉樹

二叉樹是一棵樹，且每個節點都不能有多於兩個的兒子，且二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。

二叉樹的性質

• 在二叉樹中的第i層上至多有2^(i-1)個結點（i>=1)。
• 深度為k的二叉樹至多有2^k - 1個節點（k>=1)。
• 對任何一棵二叉樹T，如果其葉結點數目為n0，度為2的節點數目為n2，則n0=n2+1。

滿二叉樹：深度為k且具有2^k-1個結點的二叉樹。即滿二叉樹中的每一層上的結點數都是最大的結點數。

完全二叉樹：深度為k具有n個結點的二叉樹，當且僅當每一個結點與深度為k的滿二叉樹中的編號從1至n的結點一一對應。

• 具有n個節點的完全二叉樹的深度為log_2ⁿ + 1。

性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為 2^{i-1} (i≥1)

證明：下面用"數學歸納法"進行證明。
        (01) 當i=1時，第i層的節點數目為2^{i-1}=2^{0}=1。因為第1層上只有一個根結點，所以命題成立。
        (02) 假設當i>1，第i層的節點數目為2^{i-1}。這個是根據(01)推斷出來的！
               下面根據這個假設，推斷出"第(i+1)層的節點數目為2^{i}"即可。
                由於二叉樹的每個結點至多有兩個孩子，故"第(i+1)層上的結點數目" 最多是 "第i層的結點數目的2倍"。即，第(i+1)層上的結點數目最大值=2×2^{i-1}=2^{i}。
                故假設成立，原命題得證！

性質2：深度為k的二叉樹至多有2^{k}-1個結點(k≥1)

證明：在具有相同深度的二叉樹中，當每一層都含有最大結點數時，其樹中結點數最多。利用"性質1"可知，深度為k的二叉樹的結點數至多為：
           2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
           故原命題得證！

性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log₂ (n+1)

證明：根據"性質2"可知，高度為h的二叉樹最多有2^{h}–1個結點。反之，對於包含n個節點的二叉樹的高度至少為log₂(n+1)。

 性質4：在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀=n₂+1

證明：因為二叉樹中所有結點的度數均不大於2，所以結點總數(記為n)="0度結點數(n₀)" + "1度結點數(n₁)" + "2度結點數(n₂)"。由此，得到等式一。
         (等式一) n=n₀+n₁+n₂
　     另一方面，0度結點沒有孩子，1度結點有一個孩子，2度結點有兩個孩子，故二叉樹中孩子結點總數是：n₁+2n₂。此外，只有根不是任何結點的孩子。故二叉樹中的結點總數又可表示為等式二。
         (等式二) n=n₁+2n₂+1
        由(等式一)和(等式二)計算得到：n₀=n₂+1。原命題得證！

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二叉樹的結構和遍歷

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