二叉樹是最常用的數據結構之一，筆者過去一直將關注點放在復雜的樹結構（例如紅黑樹，自平衡樹），認為那些才是樹的重要應用，但當重新由基本看起，才發現樹的基本定中就隱藏着樹這一結構的精髓。盡管是些淺薄蠢笨的理解和推演，但筆者還是滿懷興奮的想要將它記錄下來。
一、二叉樹的定義
二叉樹的定義不用多說，很多書本上都有明確的定義，但有些細節是筆者過去所沒有注意的，先給出殷人昆教授對於二叉樹的基本定義——
二叉樹是結點的一個有限集合，該集合或者為空，或者是由一個根結點加上兩棵分別稱為左子樹和右子樹的、互不相交的二叉樹組成。
可以看出二叉樹的定義是遞歸的，根結點的子樹仍然是二叉樹，到達空子樹時遞歸定義結束。
一般來說，關於樹的術語對於二叉樹都是適用的，但應該明確的是二叉樹不是樹，理由如下：
- 樹在圖論中被視為用n-1條邊連接n個結點的的特殊的圖。圖的頂點結合非空，故樹的頂點非空。圖論中另外定義了N叉樹，它可以是空樹，二叉樹屬於N叉樹。
- 非空二叉樹有根，根結點的子樹有左右之分，次序不能顛倒；若其中一棵子樹為空，則另一棵子樹也必須保持左右之分。樹可以沒有根（自由樹）；即使有根，其子樹也沒有這種區分。
那么，這就出現一個問題——二叉樹的葉結點無子女，是否可稱它為無子樹？
根據定義，應該是不能的，因為可認為葉子點的左右子樹為空子樹。
雖然認識這一區別的目的並非應試，但筆者還是提一句：個人認為在一般的測試中未必會考察到這么細致，所以遇到忽略這一細致區別的出題人時請不要過於驚訝。
二、二叉樹的性質
接下來的描述中有必要用到一些數學符號，在Markdown中不好畫出，因此我們再次規定一些符號——
- ａ＾ｂ—— a的b的次方 （計算機常用，無需多言）
- int_UP（）—— 向上取整（即去掉浮點數的小數部分，然后將整數部分加1）
- int_DOWN（）—— 向下取整（即去掉浮點數的小數部分，只留整數部分）
- log(a,b) —— 表示以a為底取b的對數
性質的內容
二叉樹具有以下五個性質：
1. 在二叉樹的第ｉ（ｉ>=１）層最多有２＾(ｉ - １)個結點。
2. 深度為k(k>=0)的二叉樹最少有k個結點，最多有２＾ｋ－１個結點。
3. 對於任一棵非空二叉樹，若其葉結點數為n0，度為2的非葉結點數為n2，則ｎ0 = ｎ2 ＋１。
4. 具有n個結點的完全二叉樹的深度為int_UP（log(2，ｎ+1)）。
5. 如果將一棵有n個結點的完全二叉樹自頂向下，同一層自左向右連續給結點編號１，２，３，．．．．．．，ｎ，然后按此結點編號將樹中各結點順序的存放於一個一維數組，並簡稱編號為i的結點為結點i（ ｉ>=１ && ｉ<=ｎ）,則有以下關系：
（1）若 ｉ= 1，則結點i為根，無父結點；若 ｉ> 1，則結點 i 的父結點為結點int_DOWN（ｉ / ２）;
（2）若 ２＊ｉ <= ｎ，則結點 ｉ 的左子女為結點 ２＊ｉ；
（3）若２＊ｉ＜＝ｎ，則結點ｉ的右子女為結點２＊ｉ＋１；
（4）若結點編號ｉ為奇數，且ｉ！＝１，它處於右兄弟位置，則它的左兄弟為結點ｉ－１；
（5）若結點編號ｉ為偶數，且ｉ！＝ｎ，它處於左兄弟位置，則它的右兄弟為結點ｉ＋１；
（6）結點ｉ所在的層次為 int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。
部分性質的證明
- 性質１可以通過數學歸納法得到證明
- 性質２證明：
由性質１可知，ｋ層的最大節點總數可表示為２＾０＋２＾ 1＋……＋２^ (ｋ－１) = ２^ｋ- １； - 性質３證明：
首先，由節點的角度看ｎ１＋ｎ２＋ｎ０＝ｎ，設此為（１）式；
再從邊的角度看，ｎ２下接兩條邊，ｎ１下接一條邊，ｎ個節點兩兩相連一共需要ｎ－１條邊，可得２＊ｎ２＋ｎ１＝ｎ－１，此為（２）式；
由（１）式－（２）式，可得
ｎ０－ｎ２＝１。
三、一些拓展和說明
1. 完全二叉樹
可以看出性質4和5是針對重要的特殊二叉樹——完全二叉樹的，在此先給出特殊二叉樹的定義。
（1）滿二叉樹
深度k的滿二叉樹是有2^k－1個結點的二叉樹，在滿二叉樹中，每一層結點都達到了最大個數，除最底層結點的度為0外，其他各層結點的度都為2。
（2）完全二叉樹
如果一棵具有n個結點的深度為k的二叉樹，它的每一個結點都與高度為k的滿二叉樹中編號為1 ~ n－1的結點一一對應，則稱這棵二叉樹為完全二叉樹。
其特點是：上面從第１層到第ｋ－１層的所有各層的結點數都是滿的，僅最下面的第ｋ層是滿的，或從右往左連續缺少若干結點。
（3）完全二叉樹的結論
- 若完全二叉樹有ｎ個結點，當ｎ為奇數時，n1 = 0，n2 = int_DOWN（ｎ／２），n0 = n2 + 1；
- 當ｎ為偶數時，n1 = 1, n0 = ｎ／２；n2 = n0 - 1。
證明 ——
由之前的結論可知，k層結點數為ｎ－（２＾（ｋ－１）－１）；
由於僅最下面的第ｋ層是滿的，或從右往左連續缺少若干結點；
ｋ層結點依次從左到右位於ｋ－１層結點的下方，且中間不留空子樹；
故表達式（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２的商為ｋ－１層中度為２的結點，余數為度為１的結點。
故當ｎ為奇數時，n1＝０；
當ｎ為偶數時，n1＝１；
由於ｋ－１層以及以上的結點都是滿的，即一共２＾（ｋ－２）－１個結點；
ｎ２＝ int_DOWN（（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２）＋２＾（ｋ－２）－１
＝ int_DOWN（（ｎ＋１）／２）－１
故當ｎ為奇數時，ｎ２＝ int_DOWN（ｎ／２）＋１－１＝ int_DOWN（ｎ／２），ｎ０＝ｎ２＋１；
當ｎ為偶數時，ｎ２＝ ｎ／２－１，ｎ０＝ｎ／２－１＋１＝ｎ／２。
證畢。
2. 性質５的拓展
如果結點編號從0開始，則有以下結論：
（1）結點ｉ（１＜＝ｉ＜＝ｎ－１）的父結點為結點int_DOWN（（ｉ－１）／２），結點０無父結點；
（2）分支結點中編號最大的是結點int_DOWN（（ｎ－２）／２）或結點int_DOWN（ｎ／２）－１；
（3）若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－２）／２），則結點ｉ的左子女為２＊ｉ＋１；若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－３）／２），則結點ｉ的右子女為２＊ｉ＋２；
（4）若ｉ為偶數且大於０，則結點ｉ有左兄弟結點ｉ－１；若ｉ為奇數且ｉ＜＝ｎ－２，則結點ｉ有右兄弟結點ｉ＋１；
（5）結點ｉ（０＜＝ｉ＜＝ｎ－１）在第int_DOWN（ｌｏｇ（２，ｉ＋１））＋１。
3. 二叉樹存儲和遍歷的小結論
- 含有 n 個結點的二叉鏈表中有 n+1 個空指針域，這是因為在所有結點的2ｎ個鏈指針域中只有ｎ－１個存有邊信息的緣故。三叉鏈表則有ｎ＋２個空指針域。
- 前序遍歷算法中，第一個被訪問的元素一定是二叉樹的根，如果根的左子樹非空，則緊跟在根后的一定是根的左子女；如果左子樹為空，則其后緊跟的是其右子樹的根。
- 后序遍歷算法中，最后一個被訪問的一定是二叉樹的根，如果根的右子樹非空，則在根之前的一定是根的右子女；如果右子樹為空，則其前的元素是其左子樹的根。