已知三點求平面方程、平面法向量和點到平面的距離

 

已知三點p1（x1,y1,z1），p2(x2,y2,z2)，p3(x3,y3,z3)，要求確定的平面方程

關鍵在於求出平面的一個法向量，為此做向量p1p2（x2-x1,y2-y1,z2-z1), p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1),平面法線和這兩個向量垂直，因此法向量n：

 

平面方程：a(x-x1)+b(y-y1)+ c(z-z1)=0；

d=-a*x1-b*y1-c*z1。

平面平面方程為ax+by+cz+d=0。

//已知3點坐標，求平面ax+by+cz+d=0;

void get_panel(Point p1,Point p2,Point p3,double &a,double &b,double &c,double &d)

{

a = ( (p2.y-p1.y)*(p3.z-p1.z)-(p2.z-p1.z)*(p3.y-p1.y) );

b = ( (p2.z-p1.z)*(p3.x-p1.x)-(p2.x-p1.x)*(p3.z-p1.z) );

c = ( (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x) );

d = ( 0-(a*p1.x+b*p1.y+c*p1.z) );

}

 

// 已知三點坐標，求法向量

Vec3 get_Normal(Point p1,Point p2,Point p3)

{

a = ( (p2.y-p1.y)*(p3.z-p1.z)-(p2.z-p1.z)*(p3.y-p1.y) );

b = ( (p2.z-p1.z)*(p3.x-p1.x)-(p2.x-p1.x)*(p3.z-p1.z) );

c = ( (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x) );

return Vec3(a,b,c);

}

 

//點到平面距離

double dis_pt2panel(Point pt,double a,double b,double c,double d)
{

return f_abs(a*pt.x+b*pt.y+c*pt.z+d)/sqrt(a*a+b*b+c*c);

}

 

三點共線判斷

 

方法：面積判斷

 

 A (ax,ay) ,B(bx,by),C(cx,cy)；

 

判斷 area(ABC) ==0

 

 

 

area(ABC) = 1/2 * ( AC X BC )  = 1/2 *((ax-cx)*(by-cy)-(bx-cx)*(ay-cy))

 

判斷 (ax-cx)*(by-cy) == (bx-cx)*(ay-cy) 即可。

 

 

 

AC X BC   為兩矢量的叉積

 

 

參考文章：

已知三點求平面方程、平面法向量和點到平面的距離