平面最近點距離問題(分治法)

算法：   

 0：把所有的點按照橫坐標排序   

1：用一條豎直的線L將所有的點分成兩等份  

 2：遞歸算出左半部分的最近兩點距離d1，右半部分的最近兩點距離d2，取d=min(d1,d2)   

3：算出“一個在左半部分，另一個在右半部分”這樣的點對的最短距離d3。

  4：結果＝min(d1,d2,d3)    

關鍵就是這第3步。貌似這需要n^2的時間，把左邊每個點和右邊每個點都對比一下。其實不然。秘密就在這里。    首先，兩邊的點，與分割線L的距離超過d的，都可以扔掉了。   其次，即使兩個點P1,P2（不妨令P1在左邊，P2在右邊）與分割線L的距離（水平距離）都小於d，如果它們的縱坐標之差大於d，也沒戲。  就是這兩點使得搜索范圍大大減小：   對於左半部分的，與L的距離在d之內的，每個P1來說：右半部分內，符合以上兩個條件的點P2最多只有6個！  原因就是：   d是兩個半平面各自內，任意兩點的最小距離，因此在同一個半平面內，任何兩點距離都不可能超過d。   我們又要求P1和P2的水平距離不能超過d，垂直距離也不能超過d，在這個d*2d的小方塊內，最多只能放下6個距離不小於d的點。    因此，第3步總的比較距離的次數不超過n*6。   

 第3步的具體做法是：    

3.1 刪除所有到L的距離大於d的點。 O(n)  

 3.2 把右半平面的點按照縱坐標y排序。 O(nlogn)  

 3.3 對於左半平面內的每個點P1，找出右半平面內縱坐標與P1的縱坐標的差在d以內的點P2，計算距離取最小值，算出d3。 O(n*6) = O(n)    因為3.2的排序需要O(nlogn)，   所以整個算法的復雜度就是O(n((logn)^2))。    

 

 

/** 
最近點對問題，時間復雜度為O(n*logn*logn) 
*/  
#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
const double INF = 1e20;  
const int N = 100005;  
  
struct Point  
{  
    double x;  
    double y;  
}point[N];  
int n;  
int tmpt[N];  
  
bool cmpxy(const Point& a, const Point& b)  
{  
    if(a.x != b.x)  
        return a.x < b.x;  
    return a.y < b.y;  
}  
  
bool cmpy(const int& a, const int& b)  
{  
    return point[a].y < point[b].y;  
}  
  
double min(double a, double b)  
{  
    return a < b ? a : b;  
}  
  
double dis(int i, int j)  
{  
    return sqrt((point[i].x-point[j].x)*(point[i].x-point[j].x)  
                + (point[i].y-point[j].y)*(point[i].y-point[j].y));  
}  
  
double Closest_Pair(int left, int right)  
{  
    double d = INF;  
    if(left==right)  
        return d;  
    if(left + 1 == right)  
        return dis(left, right);  
    int mid = (left+right)>>1;  
    double d1 = Closest_Pair(left,mid);  
    double d2 = Closest_Pair(mid+1,right);  
    d = min(d1,d2);  
    int i,j,k=0;  
    //分離出寬度為d的區間  保存到tmpt中 
    for(i = left; i <= right; i++)  
    {  
        if(fabs(point[mid].x-point[i].x) <= d)  
            tmpt[k++] = i;  
    }  
    sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);  
    //暴力搜索 tmpt中的最短距離
    for(i = 0; i < k; i++)  
    {  
        for(j = i+1; j < k && point[tmpt[j]].y-point[tmpt[i]].y<d; j++)  
        {  
            double d3 = dis(tmpt[i],tmpt[j]);  
            if(d > d3)  
                d = d3;  
        }  
    }  
    return d;  
}  
  
  
int main()  
{  
    while(true)  
    {  
        scanf("%d",&n);  
        if(n==0)  
            break;  
        for(int i = 0; i < n; i++)  
            scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);  
        sort(point,point+n,cmpxy);  
        printf("%.2lf\n",Closest_Pair(0,n-1));  
    }  
    return 0;  
}