平面最近點對(分治nlogn)

平面最近點對，是指給出平面上的n個點，尋找點對間的最小距離

首先可以對按照x為第一關鍵字排序，然后每次按照x進行分治，左邊求出一個最短距離d1，右邊也求出一個最短距離d2,那么取d=min(d1, d2)

然后只需考慮橫跨左右兩側的點，不妨枚舉左側的點pi

那么很顯然的是如果pi距離中間的點超過了d，便可以直接舍去，只需考慮距離中間點小於d的點

這樣一來就可以對每個pi畫一個邊長為2d的正方形，易證，矩形內最多存在8個點。

那么關鍵問題就是要快速找這8個點

朴素做法是對分治后的點進行快排，這樣復雜度就是nlognlogn

但是我們如果結合歸並排序，每一次分治的過程順帶就按y歸並排序，便可以把logn省掉了 （%%%想出做法的和鑫神犇）

代碼如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct P
{
    int x, y;
    bool operator <(const P& B)const { return x < B.x; }
}p[100050];
int dis(P &A, P &B) { return (A.x-B.x)*(A.x-B.x) + (A.y-B.y)*(A.y-B.y); }
P Q[100050];
int Divide(int l, int r)
{
    if(l == r) return 1e7;
    int mid = (l+r)>>1, d, tx = p[mid].x, tot = 0;
    d = min(Divide(l, mid), Divide(mid+1, r));
    for(int i = l, j = mid+1; (i <= mid || j <= r); i++)
    {
        while(j <= r && (p[i].y > p[j].y || i > mid)) Q[tot++] = p[j], j++; //歸並按y排序
        if(abs(p[i].x - tx) < d && i <= mid)  //選擇中間符合要求的點
        {
            for(int k = j-1; k > mid && j-k < 3; k--) d = min(d, dis(p[i], p[k]));
            for(int k = j; k <= r && k-j < 2; k++) d = min(d, dis(p[i], p[k]));
        }
        if(i <= mid) Q[tot++] = p[i];
    }
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) p[i] = Q[j];
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
    sort(p+1, p+1+n);
    cout<<Divide(1, n)<<endl;
}

 

注意：這里只選了坐標為整數的點，而且范圍較小，需要一定的更改才能使用