點到平面的距離計算

如上圖所示，假設現在有一平面\(S\)

\[WX+b = 0 \]

其中\(W,X\)都是向量，現有平面外一點\(Q\)，求\(Q\)到平面的距離。

我們假設平面內有一點\(P\)，並且平面的法向量為\(\overrightarrow{n}=(W_1, W_2, \cdots, W_n)\)，那么有\(Q\)到\(S\)的距離為

\[\begin{split} d &= |PQ|\cos\theta\\ &= \dfrac{|\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}|PQ|\cos\theta\\ &= \dfrac{\overrightarrow{n}\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{n}|}\\ &= \dfrac{W_1(Q_1 - P_1) + W_2(Q_2 - P_2) + \cdots + W_n(Q_n - P_n)}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ - WP}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ - (-b)}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ + b }{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}} \end{split} \]

其中\(\theta\)為過\(P\)點的\(S\)法向量與\(PQ\)的夾角，因為\(P\)為\(S\)內的一點，所以有\(WP+b=0\)所以可以將\(WP\)替換為\(-b\)

綜上所述，所以平面外一點\(X\)到平面的距離公式為

\[d = \dfrac{1}{|W|}(WX+b) \]

由於距離通常是個大於等於0的數，所以需要取絕對值。點到直線的距離是點到平面的特例，上式依然可行