点到平面的距离计算

如上图所示，假设现在有一平面\(S\)

\[WX+b = 0 \]

其中\(W,X\)都是向量，现有平面外一点\(Q\)，求\(Q\)到平面的距离。

我们假设平面内有一点\(P\)，并且平面的法向量为\(\overrightarrow{n}=(W_1, W_2, \cdots, W_n)\)，那么有\(Q\)到\(S\)的距离为

\[\begin{split} d &= |PQ|\cos\theta\\ &= \dfrac{|\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}|PQ|\cos\theta\\ &= \dfrac{\overrightarrow{n}\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{n}|}\\ &= \dfrac{W_1(Q_1 - P_1) + W_2(Q_2 - P_2) + \cdots + W_n(Q_n - P_n)}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ - WP}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ - (-b)}{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}}\\ &= \dfrac{WQ + b }{\sqrt{W_1^2 + W_2^2 + \cdots + W_n^2}} \end{split} \]

其中\(\theta\)为过\(P\)点的\(S\)法向量与\(PQ\)的夹角，因为\(P\)为\(S\)内的一点，所以有\(WP+b=0\)所以可以将\(WP\)替换为\(-b\)

综上所述，所以平面外一点\(X\)到平面的距离公式为

\[d = \dfrac{1}{|W|}(WX+b) \]

由于距离通常是个大于等于0的数，所以需要取绝对值。点到直线的距离是点到平面的特例，上式依然可行