換元前后微元數目相同，然后我們保證每個微元的積分（就是dxdy * f(x,y) 的簡單乘積）相同那么最后的結果必定是一樣的。
對於二元情況的證明參考同濟高數7版 P151
A
考慮線性方程組
u=ax+by
v=cx+dy
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如果在xy平面上取 (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)4個點構成一個變長為1的正方形，那么經過
[a b
c d] 做變換后會是一個平行四邊形。在uv平面上是 <a,b>,<c,d> 兩個向量
向量的面積 | <a,b> x <c,d> | = ad-cd 這就表示變換后的面積比原面積是ad-cb/1
等於方程組的對應得行列式
B
x=g(u,v) y=h(u,v) , x,y 與 u v不是線性的
但是做全微分后， dx= Gu du + Gv dv , dy=Hu du +Hv dv
可見微元 dxdy 與 dudv 在指定點（u0,v0) 是成線性關系的。 dxdy 、dudv 面積之比
| Gu Gv
Hu Hv| 即雅可比行列式（行列式不能是0） 即 dxdy/dudv=J 所以做積分變換時 dxdy= J * dudv
考慮 f(x,y) dxdy 積分變換后要保證值一致（微元數一樣），由於被積函數一樣都是f(x,y) =f( g(u,v),h(u,v)) ,所以當 f(x,y) dxdy = f(g(u,v),h(u,v)) * J * dudv時才能保證一致。
注意 J^-1 是 u=g(x,y) ,v=(x,y) 即反函數表示雅克比行列式
他們互為倒數
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C
已知道u=g(x,y) v=h(x,y)時 J=| (u,v)/(x,y)|
dudv= J dxdy
已知道聯合密度函數在區域上的積分是1
那么變換后每個微元 dudv都有一個正好對應的 dxdy,變換前后的密度函數在該區域上的概率取值應該相等即
fuv(u,v) du dv= fxy(x,y) dxdy => fuv(u,v)= fxy(x,y) ( dxdy/dudv)= fxy(x,y) J ^-1