前言
了解常用的比賽賽制：三局二勝制，五局三勝制，七局四勝制的規則；理解和掌握文字語言到符號語言，再到概率用語的轉化。
賽制理解
分析：在三局兩勝制中，甲獲勝的事件包含：只比賽兩局“甲勝甲勝”，和比賽三局甲獲勝兩次，即"甲勝乙勝甲勝"和“乙勝甲勝甲勝”；各局比賽之間相互獨立，
故甲勝的概率為\(P=0.4\times 0.4+0.4\times 0.6\times 0.4+0.6\times 0.4\times 0.4=0.352\)；
在五局三勝制中，甲獲勝的事件包含：只比賽三局“甲勝甲勝甲勝”，和比賽四局甲獲勝三次，即"甲勝乙勝甲勝甲勝"和“乙勝甲勝甲勝甲勝”和“甲勝甲勝乙勝甲勝”，和比賽五局甲獲勝三次，即"甲勝乙勝甲勝乙勝甲勝"和“乙勝甲勝乙勝甲勝甲勝”和“甲勝甲勝乙勝乙勝甲勝”和“乙勝乙勝甲勝甲勝甲勝”和“甲勝乙勝乙勝甲勝甲勝”和“乙勝甲勝甲勝乙勝甲勝”；各局比賽之間相互獨立，
故甲勝的概率為\(P=0.4\times 0.4\times 0.4\)\(+0.4\times 0.6\times 0.4\times 0.4\)\(+0.6\times 0.4\times 0.4\times 0.4+0.4\times 0.4\times 0.6\times 0.4\)\(+0.4\times 0.6\times 0.4\times 0.6\times 0.4+0.6\times 0.4\times 0.6\times 0.4\times 0.4\)\(+0.4\times 0.4\times 0.6\times 0.6\times 0.4+0.6\times 0.6\times 0.4\times 0.4\times 0.4\)\(+0.4\times 0.6\times 0.6\times 0.4\times 0.4+0.6\times 0.4\times 0.4\times 0.6\times 0.4\)
\(=0.4^3+3\times 0.4^3\times 0.6+6\times 0.4^2\times 0.6^2\times 0.4=0.31744\)；
由於\(0.352>0.31744\)，故三局兩勝制下甲獲勝的概率更大一些。
我們也可以這樣理解，在一局比賽中，甲是出於劣勢的，比賽局數越多，劣勢累計越明顯，故如果采用一把定輸贏，相比三局兩勝制要更有利於甲。
【思維提升】 上述的解法，我們的思維層次還是比較低的，故會感覺比較繁瑣，那么怎么改進這種解法呢？我們借助“排列組合法求二項展開式中項的系數”的求解思路，來模式化簡化思維和運算。
比如在甲\(\underline{2:1}\)乙(三局兩勝制中甲勝兩局且甲勝出)中，可以依托\((0.4+0.6)^3=(0.4+0.6)\)\((0.4+0.6)\)\((0.4+0.6)\)的展開式這樣思考計算，最后一個括號中必須取\(0.4\)，剩余的前兩個括號中取為\(C_2^1\times 0.4\times C_1^1 0.6\)，即為\(C_2^1\times 0.4\times 0.6\times 0.4=2\times 0.4^2\times 0.6\)；
另解如下：在三局兩勝制下，甲獲勝的比分為甲\(\underline{2:0}\)乙或甲\(\underline{2:1}\)乙，
[則分別借助\((0.4+0.6)^2\)和\((0.4+0.6)^3\)的展開式來計算]，
故\(P_{甲勝}=C_1^1\times 0.4\times 0.4+C_2^1\times 0.4\times 0.6\times 0.4=0.352\)；
同理，在五局三勝制下，甲獲勝的比分為甲\(\underline{3:0}\)乙或甲\(\underline{3:1}\)乙或甲\(\underline{3:1}\)乙，
[則分別借助\((0.4+0.6)^3\)和\((0.4+0.6)^4\)和\((0.4+0.6)^5\)的展開式來計算]，
故\(P_{甲勝}=C_2^2\times 0.4\times 0.4+C_3^2\times 0.4^2\times 0.6\times 0.4+C_4^2\times 0.4^2\times 0.6^2\times 0.4=0.31744\)；
由於\(0.352>0.31744\)，故三局兩勝制下甲獲勝的概率更大一些。
同理，在七局四勝制下，甲獲勝的比分為甲\(\underline{4:0}\)乙或甲\(\underline{4:1}\)乙或甲\(\underline{4:2}\)乙或甲\(\underline{4:3}\)乙，
[則分別借助\((0.4+0.6)^4\)和\((0.4+0.6)^5\)和\((0.4+0.6)^6\)和\((0.4+0.6)^7\)的展開式來計算]，
故\(P_{甲勝}=C_3^3\times 0.4^3\times 0.4+C_4^3\times 0.4^3\times 0.6\times 0.4+C_5^3\times 0.4^3\times 0.6^2\times 0.4\)
\(+C_6^3\times 0.4^3\times 0.6^3\times 0.4=0.289792\)；
典例剖析
(1).求\(P(X=2)\)；
分析：先需要弄清楚\(X=2\)的含義，然后考慮其對應的實際比賽情形，再對應到概率的計算中。\(X=2\)意味着\(10：10\)平后，甲、乙兩人又打了\(2\)個球該局比賽結束，此時的比分為\(12：10\)或者\(10：12\)，要么情形一：甲領先乙為\(12：10\)，要么情形二：乙領先甲為\(12：10\)；當為情形一時，甲先發球且贏球比分為\(11：10\)，然后乙發球甲贏球得分\(12：10\)，比賽結束；當為情形二時，甲先發球且輸球比分為\(10：11\)，然后乙發球且甲輸球得分\(10：12\)，比賽結束；
情形一對應的事件為"甲先發球甲贏球"且“乙發球甲贏球”，這涉及的兩個小事件“甲先發球甲贏球”和“乙發球甲贏球”是相互獨立事件，則應該相乘，故概率為\(0.5\times0.4\)；
情形二對應的事件為"甲先發球甲輸球"且“乙發球甲輸球”，這涉及的兩個小事件“甲先發球甲輸球”和“乙發球甲輸球”是相互獨立事件，則應該相乘，故概率為\((1-0.5)\times(1-0.4)\)；
- 詳細正規的解析過程如下，
解析：\(X=2\)意味着\(10：10\)平后，甲、乙兩人又打了\(2\)個球該局比賽結束，
令事件\(A：\)為"甲先發球甲贏球"，事件\(B：\)為“乙發球甲贏球”，事件\(C：\)為"甲先發球甲輸球"，事件\(D：\)為“乙發球甲輸球”，
則事件\(A\)，\(B\)相互獨立，\(C\)，\(D\)相互獨立，且積事件\(AB\)和\(CD\)是彼此互斥，且事件\(A\)，\(C\)相互對立，事件\(B，\)D$相互對立，
故\(P(x=2)=P(AB+CD)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)\)
\(=P(A)P(B)+[1-P(A)][1-P(B)]=0.5\times0.4+(1-0.5)\times(1-0.4)=0.5\)；
(2).求事件“\(X=4\)且甲獲勝”的概率。
分析：“\(X=4\)且甲獲勝”，意味着甲乙兩人又打了\(4\)個球，且最后兩個球一定必須是甲連續兩次贏球，那么前面的兩個球可能是“甲贏球乙輸球”和“甲輸球乙贏球”，故這\(4\)個球的輸贏組合一定只有“甲贏+甲輸+甲贏+甲贏”或者“甲輸+甲贏+甲贏+甲贏”兩種情況，再詳細分析得到“甲發球甲贏+乙發球甲輸+甲發球甲贏+乙發球甲贏”或者“甲發球甲輸+乙發球甲贏+甲發球甲贏+乙發球甲贏”，接下來就可以定義事件，並利用事件關系求解了。
- 詳細正規的解析過程如下，
解析：“\(X=4\)且甲獲勝”，意味着甲乙兩人又打了\(4\)個球，且前兩個球中甲輸一個贏一個，最后兩個球一定必須是甲連續兩次贏球，
令“甲發球甲贏球”為事件\(A\)，“乙發球甲贏球”為事件\(B\)，則“甲發球甲輸球”為事件\(\bar{A}\)，“乙發球甲輸球”為事件\(\bar{B}\)，
則事件\(A\)，\(B\)相互獨立，則\(X=4\)對應事件\(A\bar{B}AB+\bar{A}BAB\)，且事件\(A\bar{B}AB\)和\(\bar{A}BAB\)互斥，
故\(P(X=4\)且甲贏\()=P(A\bar{B}AB+\bar{A}BAB)=P(A)P(\bar{B})P(A)P(B)+P(\bar{A})P(B)P(A)P(B)\)
\(=0.5\times (1-0.4)\times 0.5\times 0.4+(1-0.5)\times 0.4\times 0.5\times 0.4=0.1\)
- 更加精簡和高效的解答過程組織如下：
解析：設雙方\(10：10\)后的第\(k\)個球甲獲勝為事件\(A_k(k=1，2，3，4)\)，
(1).則\(X=2\)對應事件“\(A_1A_2+\bar{A_1}\bar{A_2}\)”，\(A_1\)，\(A_2\)相互獨立，\(A_1A_2\)和\(\bar{A_1}\bar{A_2}\)互斥，
故\(P(X=2)=P(A_1A_2+\bar{A_1}\bar{A_2})=P(A_1)P(A_2)+P(\bar{A_1})P(\bar{A_2})=0.5\times0.4+(1-0.5)\times(1-0.4)=0.5\)
(2).“\(X=4\)且甲贏球”對應事件“\(A_1\bar{A_2}A_3A_4+\bar{A_1}A_2A_3A_4\)”，\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(A_4\)相互獨立，\(A_1\bar{A_2}A_3A_4\)和\(\bar{A_1}A_2A_3A_4\)互斥，
\(P(X=4且甲贏)=P(A_1\bar{A_2}A_3A_4+\bar{A_1}A_2A_3A_4)=P(A_1)P(\bar{A_2})P(A_3)P(A_4)+P(\bar{A_1})P(A_2)P(A_3)P(A_4)\)
\(=0.5\times (1-0.4)\times 0.5\times 0.4+(1-0.5)\times 0.4\times 0.5\times 0.4=0.1\)
解后反思：相比較而言，我們對概率問題的理解還是不太到位，求解不太順暢，所以建議做好文字語言到數學語言，再到概率符號語言的轉化。訓練次數多了，就習慣了。
⑴求甲獲勝的概率；
⑵求投籃結束時甲的投籃次數\(X\)的分布列和數學期望。
分析：⑴甲乙每次的投籃結果都是兩個，則甲乙兩人最多的投籃可能結果列舉如下：
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 |
|---|---|---|---|---|---|
| Y | Y | Y | Y | Y | Y |
| N | N | N | N | N | N |
由表格可以看出，甲獲勝有這些事件：
\(A_1:\)一次投中；\(A_2:\)前兩次甲乙都未投中，第三次甲投中；
\(A_3:\)前四次甲乙都未投中，第五次甲投中；
這些事件彼此互斥，甲獲勝的事件為\(A_1+A_2+A_3\)
且\(P(A_1)=\cfrac{2}{5}\)，\(P(A_2)=\cfrac{3}{5}\times \cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{5}=\cfrac{2}{25}\) ，
\(P(A_3)=\cfrac{3}{5}\times \cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times \cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{5}=\cfrac{2}{125}\) ，
所以\(P(A_1+A_2+A_3)=\cfrac{2}{5}+\cfrac{2}{25}+\cfrac{2}{125}=\cfrac{62}{125}\)；
⑵\(X\)的所有可能取值為\(1，2，3\).
\(X=1\)包含甲投籃一次命中和甲第一次未命中而乙命中，\(P(X=1)=\cfrac{2}{5}+\cfrac{3}{5}\times\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{5}\)；
\(X=2\)包含前兩次甲乙未命中而第三次甲投中和前三次甲乙未命中而第四次乙命中，\(P(X=2)=\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{5}+\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{25}\)；
\(X=3\)包含前四次甲乙未命中而第五次甲投中和前五次甲乙未命中而第六次乙命中和六次投籃兩人都未投中導致結束，
\(P(X=3)=\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{5}\)
\(+\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{2}{3}\)
\(+\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{3}\)
\(=\cfrac{1}{25}\)；
分布列略；故數學期望為\(E(X)=1\times\cfrac{4}{5}+2\times\cfrac{4}{25}+3\times\cfrac{1}{25}=\cfrac{31}{25}\).
分析：由於比分已經是\(甲3：2乙\)，故只需要甲勝一局為\(甲4：2乙\)則甲獲勝，或者乙勝一局且甲勝一局則比分為\(甲4：3乙\)則甲勝，
當比分為\(甲4：2乙\)時，不需要比賽第七局，故此時甲勝的概率為\(\cfrac{1}{2}\)，或者\(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)；
當比分為\(甲3：2乙\)時，若甲輸一局，進入搶七比賽，此時搶七局中甲必須獲勝，故此時甲獲勝的概率為\(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}\)；
以上兩種情形是互斥的，故\(P_{甲勝}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{4}\)，故選\(A\).
分析：在五局三勝制下，以甲三勝一負而結束比賽，意味着比分為\(3:1\)，即前三次比賽中甲獲勝兩次失敗一場，比分為\(甲2：1乙\)，但第四場比賽必須甲獲勝，
故依托\((\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{3})^4\)，可得甲\(3:1\)獲勝的概率為\(P=C_3^2\times (\cfrac{2}{3})^2\times \cfrac{1}{3}\times \cfrac{2}{3}=\cfrac{8}{27}\).
(1).比賽兩局就結束且甲獲勝的概率；
分析：由題可知，總共比賽兩局，且着兩局都是甲獲勝，故\(P=\cfrac{2}{3}\times\cfrac{2}{3}\times=\cfrac{4}{9}\);
(2).恰好比賽四局結束的概率；
分析：由題意可知，前兩局比賽為平手，第三第四局比賽為同一個人獲勝，
甲獲勝為\(P_1=C_2^1\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{3}\times (\cfrac{2}{3})^2\)；
乙獲勝為\(P_2=C_2^1\times \cfrac{1}{3}\times \cfrac{2}{3}\times (\cfrac{1}{3})^2\)；
又甲獲勝和乙獲勝彼此互斥，
故恰好比賽四局結束的概率為\(P=P_1+P_2=C_2^1\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{3}[(\cfrac{1}{3})^2+ (\cfrac{2}{3})^2]=\cfrac{20}{81}\);
(1).乙取勝的概率；
分析：在甲先贏兩局的前提下，乙還要取勝包括兩種情形：其一，第三局到第六局乙贏四局；其二，第三局到第六局中乙勝三局負一局且第七局乙勝；
第一種情形下，\(P_1=\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{16}\);
第二種情形下，\(P_2=c_4^3\times(\cfrac{1}{2})^3\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{8}\);
以上兩種情形彼此互斥，故所求概率為\(P=P_1+P_2=\cfrac{3}{16}\).
(2).比賽打滿七局的概率；
分析：比賽打滿七局的結果無外乎甲勝和乙勝，
令“比賽打滿七局且甲勝”為事件\(A\)，“比賽打滿七局且乙勝”為事件\(B\)，且事件\(A\)，\(B\)互斥，
則\(P(A)=C_4^1\times (\cfrac{1}{2})^1\times(\cfrac{1}{2})^3\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{8}\)；
\(P(B)=C_4^3\times (\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})^1\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{8}\)；
以上兩種情形彼此互斥，故所求概率為\(P=P(A)+P(B)=\cfrac{1}{4}\).
(3).設比賽的局數為\(X\)，則求\(X\)的分布列和數學期望。
分析：隨機變量\(X\)的所有可能取值為\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，則
\(P(X=4)=\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}\)；此時為甲勝；
\(P(X=5)=C_2^1\times (\cfrac{1}{2})^2 \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}\)；此時為甲勝；
\(P(X=6)=C_3^1\times (\cfrac{1}{2})^3 \times \cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^4=\cfrac{1}{4}\)；此時為甲勝或乙勝；
\(P(X=7)=C_4^1\times (\cfrac{1}{2})^1\times(\cfrac{1}{2})^3\times \cfrac{1}{2}+C_4^3\times (\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})^1\times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}\)；此時為甲勝或乙勝；
分布列略，\(E(X)=\cfrac{11}{2}\)。
(1).求中國隊獲勝的概率；
思考：回想生活中的比賽的情形可知，中國隊獲勝分為以下情形：中\(\underline{3:0}\)日；中\(\underline{3:1}\)日；中\(\underline{3:2}\)日；
[為了能順利快速寫出相關情形，我們建立一個小模型，以中\(\underline{3:2}\)日為例，其第五場[最后一場]比賽必須是中國隊勝利，故第五場[最后一場]的概率為\(\cfrac{2}{3}\)，那么前四場中必然是日本隊勝利了兩場，具體是哪兩場，又成了\(4\)次獨立重復實驗中日本隊勝利恰好發生\(2\)次的模型，其他以此類推思考計算即可]，故由此模型得到
\(P(中\underline{3:0}日)=[C_2^2\times (\cfrac{3}{4})^2\times (\cfrac{1}{4})^0]\times \cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{27}{64}=\cfrac{108}{256}\)，
[注意，為了書寫不出錯，我們先寫第三場的概率\(\cfrac{3}{4}\)，前兩場看成\(2\)次獨立重復實驗中，中國隊勝利的事件恰好發生了\(2\)次，具體計算方式就是上述中括號中的形式，又由於各局比賽是相互獨立的，故使用概率乘法公式，其實我們知道各局的比賽多少會有士氣上的影響，但此題目是將其作為數學模型來處理，故不需要思考這些情形]
思考清楚了這些情形之后，我們正式作答如下：
解答：設“中國隊獲勝”為事件\(A\)，“中國隊以\(3:0\)勝利”為事件\(A_1\)，“中國隊以\(3:1\)勝利”為事件\(A_2\)，“中國隊以\(3:2\)勝利”為事件\(A_3\)，由題目可知各局比賽相互獨立，故\(A=A_1+A_2+A_3\)，
\(P(中\underline{3:0}日)=[C_2^2\times (\cfrac{3}{4})^2\times (\cfrac{1}{4})^0]\times \cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{27}{64}=\cfrac{108}{256}\)，
\(P(中\underline{3:1}日)=[C_3^2\times (\cfrac{3}{4})^2\times (\cfrac{1}{4})^1]\times \cfrac{3}{4}=\cfrac{81}{256}\)，
\(P(中\underline{3:2}日)=[C_4^2\times (\cfrac{3}{4})^2\times (\cfrac{1}{4})^2]\times \cfrac{2}{3}=\cfrac{36}{256}\)，
所以\(P(A)=P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\cfrac{225}{256}\)，
(2).若比賽結果為\(3:0\)或\(3:1\)，則勝利方得\(3\)分，對方得\(0\)分；若比賽結果為\(3:2\)，則勝利方得\(2\)分，對方得\(1\)分，求日本隊得分\(X\)的分布列和數學期望；
分析：日本隊得分\(X=0\)，即日\(\underline{0:3}\)中，日本敗即中\(\underline{3:0}\)日，中國勝；或日\(\underline{1:3}\)中，日本敗即中\(\underline{3:1}\)日，中國勝；
日本隊得分\(X=1\)，即日\(\underline{2:3}\)中，日本敗；
日本隊得分\(X=2\)，即日\(\underline{3:2}\)中，日本勝；
日本隊得分\(X=3\)，即日\(\underline{3:0}\)中，日本勝；或日\(\underline{3:1}\)中，日本勝；
故\(P(X=0)=P(A_1)+P(A_2)=\cfrac{108}{256}+\cfrac{81}{256}=\cfrac{189}{256}\)，\(P(X=1)=P(A_3)=\cfrac{36}{256}\)，
\(P(X=2)=[C_4^2\times (\cfrac{1}{4})^2\times (\cfrac{3}{4})^2]\times \cfrac{1}{3}=\cfrac{18}{256}\)，
\(P(X=3)=[C_2^2\times (\cfrac{1}{4})^2\times (\cfrac{3}{4})^0]\times \cfrac{1}{4}+[C_3^2\times (\cfrac{1}{4})^2\times (\cfrac{3}{4})^1]\times \cfrac{1}{4}=\cfrac{13}{256}\)，
故\(X\)的分布列為
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\cfrac{189}{256}\) | \(\cfrac{36}{256}\) | \(\cfrac{18}{256}\) | \(\cfrac{13}{256}\) |
\(E(X)=0\times \cfrac{189}{256}+1\times \cfrac{36}{256}+2\times \cfrac{18}{256}+3\times \cfrac{13}{256}=\cfrac{111}{256}\)