數學筆記

三角函數

特殊函數值

\(\displaystyle \sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
\(\displaystyle \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
\(\displaystyle \sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}\)
\(\displaystyle \sin54^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}\)
余弦就拿誘導轉正弦算吧。

誘導公式以及和差倍半

隨便上網就能查到。

和差化積公式

必背四個公式。

\[\sin(x)+\sin(y)=2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \]

\[\sin(x)-\sin(y)=2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) \]

\[\cos(x)+\cos(y)=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \]

\[\cos(x)-\cos(y)=-2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) \]

積化和差公式

往等式右邊代即可，不需要背新的。

輔助角公式

\[a\sinθ+b\cosθ=\sqrt{a^2+b^2}\sin(θ+φ)，其中\tan φ = \frac{b}{a}。 \]

復數表示

歐拉公式

\(e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ\)（逆時針轉角）

重要結論

通過向量容易直觀地得到：

\[\cos(k\frac{2π}{n})=\frac{ω^k+ω^{-k}}{2} \]

\[\sin(k\frac{2π}{n})=\frac{ω^k-ω^{-k}}{2i} \]

其中\(ω\)是\(n\)次的單位根。
直接大力代入化簡復數表達式可以直接破解大多求值性題目。

設三角

遇到半徑為\(r\)的圓，以圓心建系，圓周上點的復數可寫作\(r\cosθ+ri\sinθ\)。

三倍角

\[\sin3α=-4\sin^3α+3\sinα \]

\[\cos3α=4\cos^3α-3\cosα \]

當\(α=10^\circ或20^\circ\)等等，逆用公式可以得到特殊角。

三角形內定理

基礎初中知識。

正弦定理

略。
Update on 2019.9.14 ： 聯賽不會正弦定理，打鐵滾粗

余弦定理

\[\cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \]

三角形內的三角恆等式

\(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\)
\(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\)
\((cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1\)
還有一些別的。

泰勒展開式

\[\sin x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}*x^{2k-1}}{(2k-1)!}$$$$\cos x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}*x^{2k}}{(2k)!} \]

余弦函數換元求數列通項

待更

少量例題

1、A,B,C是三角形的內角,\(A=3B=9C\),求 \(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A\) 的值。（2019·江西）
解：設 \(ω\) 是 26 次單位根，則

\[A=\frac{ω^{18}+ω^{8}}{2} \\ B=\frac{ω^{6}+ω^{20}}{2} \\ C=\frac{ω^{2}+ω^{24}}{2} \]

代入化簡得 \(-1/4\)。
2、若 x,y 是銳角且滿足 \(sin(x+y)=\frac{sin(x)}{sin(y)}\),求 \(\tan(x)\) 的最大值。（2019·上海）
解：設 \(z=x+y\)

\[sin(x)=sin(y)sin(z)=sin(z-x)sin(z)=sin^2(z)cos(x)-sin(z)cos(z)sin(x)$$同除 $cosx$ 得$$\tan x=sin^2(z)-cos(z) \tan x \Longrightarrow \tan x=\frac{sin^2(z)}{1+cosz}=\frac{1}{cot^2(z)+cot(z)+1} \le \frac{4}{3} \]

3、算角度 \(4\arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\)。（2018·北大夏令營）
解：角度相加轉換為復數乘法，原式 = \(Arg((5+i)^4 \times (239-i)) = Arg(114244+114244i) = π/4\)

數列

等差數列與等比數列

不考。

二階常系數線性遞推

常用特征根法來做。
先把遞推式寫成 \(F_{i+2}+pF_{i+1}+qF_{i}=0\) 的形式。
則其特征方程為 \(x^2+px+q=0\)。
特征方程的兩根\(x_1\),\(x_2\)稱作特征根。
若\(x_1 \neq x_2\)，則通項為 \(F(n)=Ax_1^n+Bx_2^n\)；
若\(x_1 = x_2\)，則通項為 \(F(n)=f(n)x_1^n\)（f(n)是一次函數）。
利用已知部分待定系數即可。

非常規方法

待總結。

不等式

柯西不等式

\(a,b,c,d\) 是實數則有 \((a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2\), 僅當 \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
給出證明如下：
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\) 即得證。
若 \(a,b,c,d\) 是正數則可以直接 \((a+b)(c+d)≥(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2\) 取等條件 \(ad=bc\)。

微分和導數

把自變量 \(x\) 的增量 \(Δx\) 稱為自變量的微分，記作 \(\text{d} x\)，即 \(\text{d} x = Δx\)。於是函數 \(y = f(x)\) 的微分又可記作 \(\text{d} y = f'(x)\text{d} x\)。
那么復合函數的導數就可以輕松計算辣。
用求導的方法可以推出一種計算多項式 \(\exp\) 的方法：$$B=e^A\rightarrow B'=A'e^A=A'B\rightarrow B=\int A'B$$
反三角函數在不定積分中運用靈活，求導公式也必不可缺：$$d,\arcsin(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},dx$$$$d,\arccos(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},dx$$$$d,\arctan(x)=-\dfrac{1}{1+x^2},dx$$$$d,\text{arcsinh}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},dx$$$$d,\text{arccosh}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}},dx$$$$d,\text{arctanh}(x)=-\dfrac{1}{1-x^2},dx$$

圓錐曲線

橢圓

標准方程 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，當 \(a>b\) 時焦點在 \(x\) 軸，\(a=b\) 時是圓，\(a<b\) 時焦點在 \(y\) 軸。

接下來默認 \(a>b\) 進行討論；

焦半徑,焦點

\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，即焦點坐標為 \(F_1(-c,0)\) \(F_2(c,0)\)，橢圓上任意一點 \(P\)，滿足 \(|PF_1|+|PF_2|=2a\)。

准線與離心率

\(l:x=\pm \frac{a^2}{c}\)，橢圓上動點到同側焦點與准線的距離之比是一個定值 \(e\) （離心率），\(e=\frac{c}{a}\)。