旋轉矩陣公式推導

1.在二維平面中：如下圖所示，在xoyxoy平面中有一向量op⃗ =(x,y)Top⃗=(x,y)T，旋轉ϕϕ角后變為向量op⃗ ′=(x′,y′)Top⃗′=(x′,y′)T。
　　

 

　　據圖可得：x=|op⃗ |cosθ；y=|op⃗ |sinθx=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ，經旋轉ϕϕ角后有:
　　x′=|op⃗ |cos(θ+ϕ)=|op⃗ |(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕx′=|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ)=xcos⁡ϕ−ysin⁡ϕ
　　y′=|op⃗ |sin(θ+ϕ)=|op⃗ |(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；y′=|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ)=xsin⁡ϕ+ycos⁡ϕ；
寫成矩陣形式：
　　(x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)(x′y′)=(cos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡ϕcos⁡ϕ)(xy)
　　2.在三維空間中：如下圖所示，若以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。

　　例： op⃗ op⃗繞X軸旋轉ϕϕ角，有：
旋轉前：
旋轉后：
寫成矩陣形式：
則繞X軸旋ϕ角的旋轉矩陣為： Rx(ϕ)=（1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ）Rx(ϕ)=（1000cos⁡ϕsin⁡ϕ0−sin⁡ϕcos⁡ϕ）
同理可得繞X、Y、Z軸旋轉的不同角度的旋轉矩陣（方向余弦矩陣）分別為：

　　最后，若op⃗ op⃗繞某一定軸旋轉，從歐拉定律中可知，繞着固定軸做一個角值的旋轉，可以被視為分別以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z作為旋轉軸的旋轉的疊加。
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作者：stdEnable
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012763833/article/details/52605747
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